XV

関数 $f(x)$ は、その引数 $x$ の値 $a$ において極限 $l$ を持つとは、$a$ の近傍においてその値が、あらゆる近似の基準の範囲内で $l$ に近づくことをいう。

この定義を、すでに与えられている連続性の定義と比較せよ。すなわち：–-

関数 $f(x)$ は、その引数の値 $a$ の近傍において、その値が $a$ における値に、あらゆる近似の基準の範囲内で近づくとき、その値 $a$ において連続であるという。

ある関数が a において連続であることは、(i) それが a において極限を持つこと、そして (ii) その極限値が a における関数の値と等しいこと、という二点から直ちに明らかである。したがって、XI の末尾に挙げられた連続性の例は、極限という概念の例証に他ならない。すなわち、それらの例はすべて、考察された関数および考察された a の値について、 f ( a ) が a における f ( x ) の極限であることを証明するために示されたものであった。関数が連続でない点における極限を考える方が、実際にはより示唆に富んでいる。例えば、XI の [図] 20 にグラフが示されている関数を考えてみよう。この関数 f ( x ) は、引数が整数 0 , 1 , 2 , 3 , …