VII

x 2 + 1 = 3 、 x 2 + 3 = 1 、そして x 2 + a = b のような方程式に由来する。まったく同じ過程が踏まれているのである。方程式 x 2 + 1 = 3 は x 2 = 2 となり、これには x = + 2 または x = − 2 という二つの解が存在する。これらの選択肢が存在するという言明は

解は通常 $x=\pm \sqrt{2}$ と書かれる。ここまでは前述の例と同様、すべて順風満帆である。しかし今、同様の困難が生じる。方程式 $x^2+3=1$ は $x^2=-2$ を与えるが、自分自身を掛けて負の平方になるような正の数も負の数も存在しないからである。したがって、我々の記号が通常の正または負の数を意味するならば、$x^2=-2$ に解は存在せず、この方程式は事実上無意味である。こうして最終的に一般形 $x^2+a=b$ をとると、$b$ が $a$ 未満でない場合に限り、$x=\pm \sqrt{(b-a)}$ という一対の解が得られる。したがって、「定数」$a$ と $b$ はどのような数であってもよいとは無制限には言えない。つまり、「定数」$a$ と $b$ は、本来そうあるべき独立した無制限の「変数」ではないのである。そのため、我々が作業を進めるにつれて、再び多くの制限や制約が積み重なっていくことになる。

したがって、我々を待ち受けているのは前回と同様の課題である。すなわち、方程式 $x^2+a=b$ の解 $\pm \sqrt{(b-a)}$ が常に意味を持つように、我々の記号に新たな解釈を与えなければならない。言い換えれば、$a$ が正であろうと負であろうと、$\sqrt{a}$ が常に意味を持つような記号の解釈が必要なのである。もちろん、その解釈は、加法、減法、乗法、除法に関する通常の形式的法則のすべてが有効であり続けるようなものでなければならない。また、それは……を妨げるものであってはならない。