XI

一方、私たちは今、「連続関数」を定義する準備が整いました。関数 $f(x)$ は、その引数の値 $a$ において、その近傍での値が（すなわち $a$ における値に）あらゆる近似基準の範囲内で $f(a)$ に近づくとき、「連続」であるといいます。

これは、どのような基準 $k$ が選ばれようとも、$a$ の近傍において $f(x)$ が $f(a)$ に基準 $k$ の範囲内で近似することを意味する。例えば、$x^2$ はその引数 $x$ が $2$ である点において連続である。なぜなら、$k$ をどのように選ぼうとも、常に次のような区間を見出すことができるからである。（i）その区間は $2$ を端点として含まない。（ii）その区間内にある引数に対する $x^2$ の値は、$4$（すなわち $2^2$）に基準 $k$ の範囲内で近似する。したがって、基準として $\mathrm{.1}$ を選んだとしよう。このとき $(1.999{)}^2=3.996001$ であり、$(2.01{)}^2=4.0401$ であって、これらの数はどちらも $4$ との差が $\mathrm{.1}$ 未満である。ゆえに、$1.999$ から $2.01$ までの区間内において、$x^2$ の値は $4$ に基準 $\mathrm{.1}$ の範囲内で近似する。同様に、試そうとする他のどのような基準に対しても、区間を作り出すことができる。

鉄道の列車を例にとってみよう。列車が信号所を通過する際、その速度は連続的である。つまり、どのような速度を想定するにせよ（例えば時速百万分の一マイル）、通過の瞬間の前後を含んだある時間間隔を見出すことができ、その間隔内のあらゆる瞬間において、列車の速度は

列車が箱を通過した速度との差は時速100万分の1マイル未満であり、時速100万分の1マイルの代わりに他のどのような速度を挙げたとしても、同じことが言える。