実数の全系列をこのように配列してみよう。この興味深い事実は、存命中のドイツの数学者ゲオルク・カントールによって発見されたものであり、数学的観念の哲学において極めて重要な意味を持つ。我々は今、まさに連続性と無限の意味をめぐる偉大な諸問題の端緒に触れているのである。
数のもう一つの拡張は、
「操作」あるいは「段階」などと様々に呼ばれる概念の導入。これらの名称は、それぞれ異なる視点から見ればいずれも適切なものである。まずは特定の事例から始めることにしよう。以下を考察せよ。
という命題がある。 に を加えると になる。ここで、 を加えるという演算を考え、これを と表記することにする。同様に である。 を引くという演算を考え、これを と表記することにする。このように、実数そのものを考える代わりに、実数を加えたり引いたりする演算を考えるのである。すなわち の代わりに と 、つまり を加える演算と を引く演算を考える。すると、これらの演算同士を加えることができる。もちろん、これは数を加える場合とは異なる意味での加法である。二つの演算の和とは、それら二つの演算を連続して適用したのと同じ結果をもたらす単一の演算のことである。では、二つの演算はどのような順序で適用されるべきか。答えは、順序はどちらでもよいということである。なぜなら、例えば であり、したがって と というステップの加法は可換だからである。
数学者には、意味を追い求める者にとっては不可解だが、実際には極めて便利な習慣がある。それは、同じ記号を、関連してはいるが異なる意味で用いるというものである。彼らにとって記号に求められる唯一の必須条件は、どのような意味の変種があり得ようとも、それを用いるための形式的法則が常に同一であることである。