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Q ′ N の増加率と O N の増加率の比は、 Q ′ N と T N の比に等しく、これは直線のすべての点において一定であることは容易にわかる。しかし、 Q N の増加率、すなわち f ( x 1 ) の増加率は、曲線が直線でない限り、曲線の点ごとに変化する。 Q が点 P を通過する際、 f ( x 1 ) の増加率（ここで x 1 は一時的に x と一致する）は

は、$P$ における接線上の $y^{\prime }$ の増加率と等しい。したがって、変数 $x$ の関数 $f(x)$ の増加率を求める一般的な方法があれば、曲線上の任意の点 $(x,y)$ における接線の傾きを求めることができ、そこから接線を引くことができる。このように、曲線に接線を引くという問題と、関数の増加率を求めるという問題は、実質的に同一である。

円錐曲線や三角法の場合と同様に、二つの観点のうち、より人為的なほうからその学問が始まったという事実に気づくであろう。その学問の真に根本的な側面が重要性を帯びるようになったのは、比較的に遅い時期のことである。いかなる科学においても、最後に発見されるものは、その科学が本来何を扱っているのかということである、というのは歴史的に根拠のある一般論である。人々は、単なるぼんやりとした本能と当惑した好奇心に導かれながら、何世紀にもわたって模索を続け、ついに「ある偉大な真理が解き放たれる」のである。

私たちがこれから厳密に定義しようとしている概念に親しむために、いくつかの特殊な例を考えてみよう。列車が走行しているとする。ある瞬間、例えば正午におけるその速度を、私たちはどのように決定すればよいだろうか。正午を含む5分間の時間間隔をとり、その間に列車がどれだけの距離を進んだかを測定することができる。仮にそれが5

マイル、とすれば、その列車は時速$60$マイルで走っていたと結論づけることができる。しかし、$5$マイルというのは長い距離であり、正午ちょうどに列車がその速度で動いていたとは断言できない。正午には時速$70$マイルで走っており、その後でブレーキがかけられたのかもしれない。正午を含む1分間といった、より短い間隔で計算し、その間に移動した距離を測定するほうが安全だろう。しかし、目的によってはさらなる精度が求められることもあり、1分間では長すぎるかもしれない。実際には、測定に伴う避けられない不正確さがあるため、測定期間をあまりに短くしても無意味である。しかし理論上は、期間が短ければ短いほどよく、理想的な精度を得るには無限に小さな期間が必要であると言いたくなる。かつての数学者たち、とりわけライプニッツは、そう言いたくなっただけでなく、実際にそう言った。今日においても、それを常識的な言葉に翻訳する方法さえ心得ていれば、それは有用な言い回しである。興味深いことに、微積分学の基礎を説くにあたって、自然科学者であるニュートンは哲学者であるライプニッツよりもはるかに哲学的であり、その一方で、ライプニッツは、この学問の発展に不可欠となった賞賛すべき記法を提供したのである。