O Q を角 X O P だけ回転させると考えることも（すなわち、 角 Q O R = 角 X O P ）、あるいはベクトル O Q がベクトル O P を角 X O Q だけ回転させると考えることもできる（すなわち、 角 P O R = 角 X O Q ）。
我々は、この一般法則を証明しない。なぜなら、我々は
それによって、本書の意図する範囲を超えるような、より専門的な数学の過程へと導かれることになるだろう。しかし、今や乗法に関する結合法則〔上記で（）と番号を振ったもの〕が満たされていることが直ちに見て取れる。まず、合成ベクトルの長さを考えてみよう。これは実数の通常の乗法過程によって得られるものであり、したがって、それについては結合法則が成り立つのである。
繰り返すが、合成ベクトルの向きは単なる角度の加算によって得られ、この過程においても結合法則が成り立つ。
掛け算については以上である。我々は今、加法と乗法を考察することによって、同一平面上のベクトルの代数、すなわち「計算体系」をいかに構築し得るかを概説した。この体系においては、平面上の任意の二つのベクトルを加算、減算、あるいは乗算、除算することが可能である。
我々はこれらすべての過程における技術的な詳細については検討してこなかった。なぜなら、そうすれば数学的な細部に深入りしすぎてしまうからである。しかし、我々は一般的な手順については示してきた。このように代数的な記号を解釈する際、我々は「虚数」あるいは「複素」を用いていると言われる。