VII

() さらに、加法と乗法双方に関わる法則、すなわち分配法則も満たされなければならない。それは次のようなものである。

これらすべての条件 ()、()、()、()、() は、一見複雑に見えるものの、単純な幾何学的解釈が可能な解釈によって満たすことができる。

定義により、$(x,y)\times (x^{\prime },y^{\prime })=\{(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }),(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y)\}$ とおく。 \tag*{\quad\ensuremath{(A)}}$

これは、二つの順序対の間に記号 $\times$ が書かれたときのその意味の定義である。この定義から、乗算の結果が別の順序対となること、および式 (A) の右辺の値が $x$ と $x^{\prime }$、そして $y$ と $y^{\prime }$ を同時に入れ替えても変化しないことは明白である。したがって、条件 () および () が満たされていることは明らかである。()、()、() が満たされていることの証明も、幾何学的な解釈を与えれば同様に容易であり、それについてはこれからすぐに行う。しかしその前に、これらすべての精緻な議論を開始した目的を我々が達成できたかどうか、立ち止まって確認してみることは興味深いことであろう。

私たちは $x^2=-3$ という形の式に出くわしましたが、これには解を求めることができませんでした。