VII

発見されたときには、負の数のそれよりもはるかに手の込んだ事柄であり、読者にはあらかじめ慎重な説明に注意を向けていただく必要がある。我々はすでに、2つの数による点の表現について触れてきた。正の数と負の数を用いることで、今や平面上のいかなる点の位置も、そのような数の組によって表すことができる。そこで、我々がすべての測定の起点とする「軸」として、直交する2本の直線 $XO{X}^{\prime }$ と $YO{Y}^{\prime }$ をとることにする。$OX$ および $OY$ に沿って測定される長さは正であり、$O{X}^{\prime }$ および $O{Y}^{\prime }$ に沿って逆方向に測定される長さは負である。例えば $(+3,+1)$ のように、順序立てて書かれた数の組を想定すると、そこでは

は第一の数（上の例では $+3$）、第二の数（上の例では $+1$）であり、第一の数は $XO{X}^{\prime }$ に沿って、$O$ からの測定値を表し、第二の数は $YO{Y}^{\prime }$ に沿っての測定値を表す。したがって（[図]9 参照）、$(+3,+1)$ においては、$3$ 単位の長さを $XO{X}^{\prime }$ に沿って正の方向に、すなわち $O$ から $X$ に向かって測定し、$+1$ の長さを $YO{Y}^{\prime }$ に沿って正の方向に、すなわち $O$ から $Y$ に向かって測定することになる。同様に $(-3,+1)$ においては、$3$ 単位の長さを $O$ から $X^{\prime }$ に向かって測定し、$1$ 単位の長さを $O$ から $Y$ に向かって測定する。また $(-3,-1)$ においては、これら二つの長さはそれぞれ $O{X}^{\prime }$ および $O{Y}^{\prime }$ に沿って測定され、$(+3,-1)$ においてはそれぞれ $OX$ および $O{Y}^{\prime }$ に沿って測定される。いまのところ、このような数の組を「順序対（ordered couple）」と呼ぶことにしよう。すると、二つの数 $1$ と $3$ からは、八つの順序対を作り出すことができる。すなわち

これら8つの「順序対」のそれぞれは、$XO{X}^{\prime }$ および $YO{Y}^{\prime }$ に沿った測定のプロセスを指示するものであり、その指示内容は他のいずれとも異なるものである。