XV

まず第一に、我々が $2x+h$ を論じるにあたって、$x$ を固定値とみなし、$h$ を変数として扱ってきたことに注目されたい。言い換えれば、$x$ は IX. で説明したような「定数」的な変数、すなわちパラメータとして扱われてきたのであり、我々は実質的に $2x+h$ を引数 $h$ の関数として考察してきたのである。したがって、目下の問題を一般化し、関数 $f(h)$ がその引数 $h$ を値ゼロへと近づけるとき、関数が極限 $l$ に近づくとはどういうことか、という問いを立てることができる。しかし、ここでもまた、引数に対する特殊な値としてのゼロは、この主題の本質には属さないことがわかるであろう。そこで我々はさらに一般化を進め、関数 $f(h)$ が $h\to a$ となるときに極限 $l$ に近づくとはどういうことか、という問いを立てるのである。

さて、ワイエルシュトラス流の説明によれば、$h$ が値 $a$ に近づくという考え方全体は、我々が目指しているものの比喩的なイメージをある程度与えてはくれるものの、実際には完全に的外れなものである。実のところ、それはかなり明白なことである。

「$h$ が $a$ に近づく」といった考え方を根本的な概念として保持し続ける限り、私たちは実のところ無限小の虜（とりこ）となっている。なぜなら、そこには $h$ が $a$ に無限に近いという概念が含まれているからである。これこそが、私たちが取り除きたいと考えているものに他ならない。

したがって、我々は説明すべき命題を改めて述べ、関数 $f(h)$ の $a$ における極限が $l$ であると言うとき、我々は何を意味しているのかを問うことにする。

$f(h)$ の $a$ における極限は、

$a$ の近傍。ここで「近傍」とは、関数の連続性に関する議論の第XI章で定義された意味で用いられる。関数 $f(h)$ の $a$ における値は $f(a)$ であるが、極限という概念は値とは区別されるものであり、値とは異なる場合もあり、また値が定義されていない場合でも存在しうる。我々はまた、「近似の基準」という用語を、第XI章で定義された意味で用いることとする。実際、同章の終盤で与えられた「連続性」の定義において、我々は実質的に極限を定義しているのである。極限の定義は以下の通りである。——