W − F となり、 W w = W W − F \quad\ensuremath{(A) } が得られる。ここで W と F は、容易かつかなり正確な計量作業によって決定されるものである。
したがって、式(A)により、は既知となる。しかし、とは、王冠の重量とそれと同体積の水の重量との比である。この比は、同一の材質からなる金属の塊であればどのようなものであっても変わらない。今日ではこれを物質の比重と呼び、その物質の本質的な性質のみに依存し、形状や量には依存しない。したがって、王冠が純金であるかを調べるために、アルキメデスは疑いようのない純金の塊を用意し、同じ手順でその比重を求めさえすればよかったのである。もし二つの比重が一致すれば王冠は純金であり、一致しなければ不純物が混ざっているということになる。