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円錐の切断という古来の本来の概念から、長きにわたる研究の過程で私たちがどれほど遠く離れてしまったかは、いずれ明らかになるだろう。今日では、ギリシャ人たちが捉えていたのは比較的わずかな重要性しか持たない副次的な性質に過ぎなかったことが分かっている。もっとも、神の思し召しか、曲線そのものは彼らが注いだすべての関心に値するものであった。この「切断」という概念の重要性の低さは、現在では一般的な数学用語において、その名称から「切断」という言葉が省かれていることにも表れている。今日では、「円錐曲線（conic sections）」ではなく、単に「円錐曲線（conics）」と呼ばれることの方が多いくらいである。

ついに、私たちはその地点に立ち返る。

前章で座標幾何学を終えた地点から話を続けよう。我々は、$ax+by=c$ という一般的な代数形式に対応する軌跡がどのようなものかを問い、それが平面上の直線というクラスであることを突き止めた。すべての直線はこの形式の方程式を持ち、またこの形式のすべての方程式は直線に対応することを確認した。さて、次に一般的な代数形式の次の段階へと進むことにしよう。これは明らかに、$x^2$、$xy$、$y^2$ を含む項を導入することで得られる。したがって、新しい一般形式は次のように書かなければならない。―― $a{x}^2+2hxy+b{y}^2+2gx+2fy+c=0.$ これは何を表すのか。その答えは