VI

2 1 とし、同様に 0 を除くすべての整数についても同様に行う。また、当面の間、値は等しいが既約分数になっていない分数は、別個のものとして扱うこととする。したがって、例えば、追って通知があるまでは、 2 3 、 4 6 、 6 9 、 8 12 などはすべて別個のものとみなす。次に、各項の分子と分母を足し合わせることで、分数をいくつかのクラスに分類する。簡潔にするため、この分数の分子と分母の和をその「指標（index）」と呼ぶことにしよう。したがって、 7 は

$\frac{4}{3}$の指数、そして$\frac{3}{4}$の指数、さらに$\frac{2}{5}$の指数。各クラスに含まれる分数を、ある特定の指数を持つすべての分数とし、したがってこれをクラス指数と呼ぶことにする。さて、これらのクラスをその指数の大きさの順に並べる。第1クラスの指数は$2$であり、その唯一の要素は$\frac{1}{1}$である。第2クラスの指数は$3$であり、その要素は$\frac{1}{2}$と$\frac{2}{1}$である。第3クラスの指数は$4$であり、その要素は$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{2}$、$\frac{3}{1}$である。第4クラスの指数は$5$であり、その要素は$\frac{1}{4}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{4}{1}$である。以下同様である。どのクラスに属する要素の数（既約分数でないものも含む）は、その指数より1小さいことは容易に理解できる。また、どのクラスの要素も、最初の要素を分子が$1$である分数とし、2番目の要素を分子が$2$である分数とし、以下同様に$(n-1)$まで（ここで$n$は指数である）とすることで、順序立てて並べることができる。したがって、指数$n$のクラスについて、要素は以下の順序で現れる。

$\frac{1}{n-1},\frac{2}{n-2},\frac{3}{n-3},\dots ,\frac{n-1}{1}.$ 実際、最初の4つのクラスの項は、この順序で言及されてきた。したがって、分数の集合全体が、整数のような順序で並べられたことになる。それは次のように続く。