XIV

これらの定義は幾何学的な定義と同値であり、どちらの級数もすべての $x$ の値に対して収束すること、また任意の区間において一様収束することが証明できる。正弦および余弦に関するこれらの級数は、上で示した指数級数と一般的な類似性を持っている。実際、これらは第 [chapter:VII]VII 章および第 [chapter:VIII]VIII 章で解説される虚数の理論を通じて、指数級数と密接に関連しているのである。29

指数関数のグラフを[図]29に示す。このグラフは$OY$軸を$y=1$の点で横切るが、これは明らかである。なぜなら、$x=0$のとき、級数の第1項以外のすべての項はゼロになるからである。指数関数が重要である理由は、ある瞬間の増加率がその瞬間の値の一定の割合であるような、あらゆる変化する物理量を表すからである。

例えば、上のグラフは、出生率と死亡率が一定で、移住のない集団の任意の時点における規模を表している。ここで、$x$ は任意の都合の良い日を起点とした時間を表し、$y$ は適切な尺度で集団の規模を表す。この尺度は、$OA$ が起点として設定された日付における集団の規模を表すようなものでなければならない。しかし、私たちはここで「増加率」という概念に行き当たった。これが次章の主題である。

〜と密接に関連する重要な機能は、

指数関数は、その引数である $x$ を $-x^2$ に置き換えることで得られる。

こうして $\exp (-x^2)$ が得られる。$y=\exp (-x^2)$ のグラフを [図]30 に示す。

その曲線は、まるで山高帽のような形をしており、正規誤差曲線と呼ばれている。その

対応関数は統計理論において極めて重要であり、多くの場合、平均的な結果からどの程度の逸脱が予想されるかを我々に教えてくれる。