VI

$\sqrt{2}$ にいくらでも近づけることはできるが、その値に正確に到達することは決してない。例えば、${\displaystyle \frac{49}{25}}$ は $2$ よりわずかに小さく、${\displaystyle \frac{9}{4}}$ は $2$ より大きい。したがって、$\sqrt{2}$ は ${\displaystyle \frac{7}{5}}$ と ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ の間にあることになる。しかし、$\sqrt{2}$ を近似する最も体系的な方法は、それぞれが前よりも大きくなるような小数（分数）の列を得ることであるが、これは通常の平方根の計算方法によるものである。すなわち、その数列は $1$、${\displaystyle \frac{14}{10}}$、${\displaystyle \frac{141}{100}}$、${\displaystyle \frac{1414}{1000}}$、……と続く。

このような比は、ギリシア人によって「不 commensurable（通約不可能）」と呼ばれている。これらはギリシア時代から今日に至るまで、多くの哲学的議論を呼び起こしてきたものであり、それらに関連する難問がようやく解明されたのはごく最近のことである。

私たちは、測り知れない比を置くことにする

分数を含め、整数、分数、および不尽数（無理数）の全体を一つの数のクラスとして考え、これを「実数」と呼ぶことにしよう。我々は常に実数を、零から始まり上方に向かって、進むにつれて無限に大きくなっていくような、大きさの順序に従って並べられたものとして考える。実数は便宜上、

直線上の点で表される。 O を端点とし、 O X の方向に無限に伸びる任意の直線 O X を考える。この直線上に適当な点 A をとり、 O A を単位長さとする。そして、 A B 、 B C 、 C D ……と、 O A と等しい長さを順次とっていく。すると、点 O は数 0 を、点 A は数 1 を、点