XV

である場合を除いて、すべての値に対して 1 という値をとるように定義されており、これらの整数値に対しては 0 という値をとる。さて、 x = 3 におけるこの関数の極限について考えてみよう。極限の定義においては、 a における関数の値（この場合は a = 3 ）は除外されることに注意されたい。しかし、 f ( 3 ) を除外すれば、 x が (i) 3 を端点として含まない区間内にあり、かつ (ii) 2 から 4 まで及ばないような区間内にあるとき、 f ( x ) の値はすべて 1 に等しい。したがって、これらの値はあらゆる近似の基準において 1 に近づく。ゆえに、 1 は x が

引数 $x$ の値 $3$ ですが、定義により $f(3)=0$ となります。

これは、引数の値が $3$ である点において値と極限の両方を持つが、その値と極限が一致しない関数の例である。XIの末尾では、引数の値が $2$ である点における関数 $x^2$ について考察した。その $2$ における値は $2^2$、すなわち $4$ であり、その極限もまた $4$ であることが証明された。したがって、ここには値と極限が等しい関数が存在する。