XIV

は常に絶対値が

$k$ がどのように選ばれようとも、$k$ 未満である。したがって、$x$ の絶対値が $1$ 未満であれば、級数 $1,x,x^2,\dots ,x^n,\dots$ は収束し、その極限は ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ である。この事実は次のように記号化される。 $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots +x^n+\dots ,(-1<x<1).$$ しかし、$x$ の絶対値が $1$ より大きいか、あるいは $1$ と等しい場合、この級数は発散する。言い換えれば、$x$ が $-1$ と $+1$ の間にあるならば級数は収束するが、$x$ が $-1$ または $+1$ と等しい場合、あるいは $x$ が $-1$ から $+1$ までの区間の外側にある場合、級数は発散する。したがって、この級数は $-1$ から $+1$ までの区間内の、両端点を除くすべての「点」において収束する。