XI

高等数学ですが、ここではこれ以上立ち入る必要はありません。

関数間の最も重要な区分

それは連続関数と不連続関数の違いである。関数とは、引数が徐々に変化するにつれてその値も徐々に変化するものを連続関数といい、値が突然の跳躍によって変化しうるものを不連続関数という。したがって、IX章の図14に直線として描かれている2つの関数 $x+1$ と $1-x$ は連続関数であり、$v$ の正の値のみを考えるならば、II章に描かれている関数 ${\displaystyle \frac{1}{v}}$ もまた連続関数である。しかし、本章の図20に描かれている関数は、その引数が $x=1$、$x=2$ 等の値をとるときに値が突然の跳躍を起こすため、不連続関数である。

連続と不連続の真の意味を頭に叩き込むために、自然界に見られる関数の例をいくつか考えてみよう。ロンドン・ノース・ウェスタン鉄道の終着駅であるロンドンのユーストン駅を出発して線路上を走る列車を考える。線路上には順にブレッチリー駅とラグビー駅がある。列車がユーストン駅を出発してからの経過時間を $t$ 時間、走行距離を $s$ マイルとする。このとき、$s$ は $t$ の関数である。すなわち、$s$ は変数 $t$ に対応する変数値である。

列車の運行状況が分かっていれば、$t$ のいかなる特定の値が与えられたとしても、直ちに $s$ を知ることができる。さて、奇跡でも起こらない限り、$s$ は $t$ の連続関数であると確信を持って想定してよい。列車をユーストンからブレッチリーまで連続的に追跡できたにもかかわらず、その直後、いかなる短い時間の間隔も置かずにラグビーに現れるといった事態を考慮に入れることは不可能である。そのような考えはあまりに空想的であり、我々の計算に含めることはできない。それは『アラビアンナイト』の世界にしか存在しない可能性を想定するものであり、その物語においてさえ、運動の完全な不連続性が想像の域に入ることはほとんどない。それらの物語でさえ、極めて異常な速度以上のことで我々の信じやすさを試そうとはしないのである。しかし、異常な速度であっても、自然界において成立していると思われる運動の連続性という偉大な法則と矛盾するものではない。例えば光は秒速約19万マイルで移動し、7、8分で太陽から我々のもとへ届く。しかし、この速度にもかかわらず、その移動距離は常に時間の連続関数となっている。

物体の速度が常に時間の連続関数であるということは、私たちにとってそれほど自明なことではない。ある時刻 $t$ における列車を考えてみよう。列車はある一定の速度、例えば時速 $v$ マイルで走行している。ここで $v$ は、列車が駅で停車しているときはゼロであり、後退しているときは負の値をとる。さて、私たちは $v$ がその