XIV

$20$ の代わりに他のどのような数を取り、$\mathrm{.001}$ の代わりにどのような近似の基準を取ったとしても、同じ推論を適用することができる。したがって、幾何級数 $1+x+x^2+x^3+\dots +x^n+\dots$ は、その収束区間全体である $-1$ から $+1$ にわたって一様収束しない。しかし、$-1$ から $+1$ の区間の両端の内側にあるより小さな区間を取れば、幾何級数はその内部で一様収束する。例えば、$0$ から $+\frac{1}{10}$ までの区間を取ってみよう。このとき、これらの $x$ の限界値において ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{1-x}}$ を $k$ 未満にするような $n$ の値は、これらの限界値の間にあるすべての $x$ の値に対しても有効である。なぜなら、たまたま $x$ の絶対値が減少するにつれて ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{1-x}}$ の絶対値も減少するからである。例えば、$k=\mathrm{.001}$ とし、$x=\frac{1}{10}$ を代入すると、次が得られる：

-- {3} &\text{$n=1$ のとき、}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{2}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{90} = .0111\dots, \

&\text{$n=2$ のとき、}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{3}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{900} = .00111\dots, \

&\text{$n=3$ のとき、}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{4}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{9000} = .000111\dots.

したがって、全区間に対して3つの項で十分である。