微分法の重要性
は、関数の増加率を体系的に考察するという、主題の本質そのものに由来する。この考え方は、自然の研究によって直ちに我々に提示される。速度とは移動距離の増加率であり、加速度とは速度の増加率である。したがって、あらゆる現象を認識する基盤となる「変化」という根本的な概念は、「変化率」を探究すべきだということを直ちに示唆している。「速く」や「遅く」といった馴染み深い言葉は、暗黙のうちにその意味を得ているのである
変化率への言及。したがって微分積分学は、数学を自然の成り行きの解明へと首尾よく応用するための、まさにその鍵となる立場に関わっているのである。
この変化率という考え方は、確かにニュートンの念頭にあったものであり、彼がこの主題を説明する際に用いた言語にも具体化されていた。しかし、自然現象から導き出されたこの視点が、この主題の誕生に向けて準備を整えた先行の数学者たちの念頭にそれほどあったかどうかは疑わしい。彼らが関心を寄せていたのは、接線を引くという、より抽象的な問題であった。
曲線へ、曲線の長さを求めること、そして曲線によって囲まれた面積を求めること。その
曲線の整列（rectification of curves）および曲線の求積（quadrature of curves）と称される最後の二つの問題は、積分学に属するものであり、それらは
は、微分法と同じ一般的な主題に関わっている。
座標幾何学の導入
二つの視点を融合させる。例えば（[図]32参照）、 A Q P を任意の曲線とし、 P T をその上の点 P における接線とする。座標軸を O X および O Y とし、 y = f ( x ) をその曲線の式とすれば、 O M = x 、 P M = y となる。ここで、 Q を曲線上の任意の動点とし、その座標を x 1 、 y 1 とすれば、 y 1 = f ( x 1 ) である。また、 Q ′ を接線上の点とし、その横座標を同じ x 1 とする。このとき、 Q ′ の座標を x 1 および y ′ と仮定する。さて、 N が軸 O X 上を左から右へ一定の速度で移動するとすれば、接線 T P 上の点 Q ′ の縦座標 y ′ もまた、 Q ′ が接線に沿って対応するように移動するにつれて一定の割合で増加することは容易に理解できる。実際、