2°. En las mismas circunstancias, determinar la suma de un número cualquiera de términos de la serie por medio de sus lugares, de modo que pueda conocerse sin la necesidad de sumar continuamente dichos términos.
Consideradas estas dos cuestiones fundamentales como resueltas, puede proponerse, recíprocamente, hallar la ley de una serie a partir de la forma de su término general o de la expresión de la suma.
Cada uno de estos diferentes problemas tiene tanto más alcance y dificultad cuanto mayor es el número de leyes diferentes que se pueden concebir para la serie, según el número de términos precedentes de los que dependa directamente cada término y según la función que exprese dicha dependencia.
Podemos incluso considerar series con varios índices variables, como lo ha hecho Laplace en su "Teoría analítica de las probabilidades", mediante el análisis al que ha dado el nombre de Teoría de las funciones generatrices, aunque en realidad no sea más que una nueva y superior rama del cálculo de diferencias finitas o de la teoría general de las series.
Estas vistas generales que he indicado solo dan una idea imperfecta de la extensión y variedad verdaderamente infinitas de las cuestiones a las que los geómetras se han elevado mediante esta sola consideración de las series, tan simple en apariencia y tan limitada en su origen.
Presenta necesariamente tantos casos diferentes como la resolución algebraica de las ecuaciones, considerada en toda su extensión; y es, por su naturaleza, mucho más complicada, tanto, en verdad, que siempre necesita de esta última para conducirla a una solución completa.
Podemos, por tanto, anticipar cuál debe ser aún su extrema imperfección, a pesar de los sucesivos trabajos de varios geómetras de primer orden. No poseemos, en realidad, hasta el momento la solución completa y lógica de ninguna más que de las cuestiones más simples de esta índole.
Su identidad con este cálculo.
Es fácil ahora concebir la necesaria y perfecta identidad, ya anunciada, entre el cálculo de diferencias finitas y la teoría de series considerada en todas sus vertientes.
De hecho, toda diferenciación al modo de Taylor equivale evidentemente a hallar la ley de formación de una serie con uno o varios índices variables, a partir de la expresión de su término general; del mismo modo, toda integración análoga puede considerarse como teniendo por objeto la sumación de una serie, cuyo término general vendría expresado por la diferencia propuesta.
Desde este punto de vista, los diversos problemas del cálculo de diferencias, directos o inversos, resueltos por Taylor y sus sucesores, tienen en realidad un valor muy grande, por tratar cuestiones importantes relativas a las series.
Pero es muy dudoso que la forma y la notación introducidas por Taylor proporcionen realmente alguna facilidad esencial en la resolución de cuestiones de esta naturaleza. Sería, quizás, más ventajoso para la mayoría de los casos, y ciertamente más lógico, reemplazar las diferencias por los términos mismos, de los cuales representan ciertas combinaciones.