Pero en vez de recurrir a formaciones geométricas, que acabarían por volverse muy complicadas, concebimos con la mayor facilidad tantas líneas trigonométricas nuevas como las transformaciones analíticas puedan requerir, mediante un artificio notable que no suele comprenderse de un modo suficientemente general.
Consiste en no multiplicar directamente las líneas trigonométricas apropiadas para cada arco considerado, sino en introducir nuevas líneas, al considerar este arco como indirectamente determinado por todas las líneas relativas a un arco que es una función muy simple de la primera.
Es así, por ejemplo, que, para calcular un ángulo con más facilidad, determinaremos, en lugar de su seno, el seno de su mitad, o de su doble, etc.
Una tal creación de líneas trigonométricas indirectas es evidentemente mucho más fructífera que todos los métodos geométricos directos para obtener nuevas líneas.
Podemos decir en consecuencia que el número de líneas trigonométricas empleadas en la actualidad por los geómetras es en realidad ilimitado, puesto que a cada instante, por decirlo así, las transformaciones del análisis pueden llevarnos a aumentarlo mediante el método que acabo de indicar.
Sin embargo, se han dado nombres especiales únicamente a aquellas de estas líneas indirectas que se refieren al complemento del arco primitivo, ya que las demás no aparecen con la frecuencia suficiente como para hacer necesarias tales denominaciones; una circunstancia que ha provocado una idea equívoca muy extendida sobre el verdadero alcance del sistema de la trigonometría.
Estudio de sus relaciones mutuas. Esta multiplicidad de líneas trigonométricas da lugar evidentemente a una tercera cuestión fundamental en la trigonometría: el estudio de las relaciones que existen entre estas diferentes líneas; ya que, sin tal conocimiento, no podríamos utilizar, para nuestras necesidades analíticas, esta variedad de magnitudes auxiliares que, sin embargo, no tienen otro destino.
Es evidente además, por la consideración acabada de indicar, que esta parte esencial de la trigonometría, aunque simplemente preparatoria, es, por su naturaleza, susceptible de una extensión indefinida cuando la consideramos en toda su generalidad, mientras que las otras dos están circunscritas dentro de límites rigurosamente definidos.
No es necesario añadir que estas tres partes principales de la trigonometría deben estudiarse en orden precisamente inverso a aquel en el que las hemos visto deducirse necesariamente de la naturaleza general del tema; pues la tercera es evidentemente independiente de las otras dos, y la segunda, de la que se presentó en primer lugar —la resolución de triángulos, propiamente dicha—, la cual debe por esa razón tratarse en último término; lo que hacía tanto más importante la consideración de su sucesión natural y de sus relaciones lógicas mutuas.
Es inútil considerar aquí por separado la trigonometría esférica, que no puede dar lugar a ninguna consideración filosófica especial; puesto que, por muy esencial que sea debido a la importancia y a la multiplicidad de sus aplicaciones, hoy en día solo puede tratarse como una simple aplicación de la trigonometría rectilínea, que proporciona directamente sus ecuaciones fundamentales al sustituir el triángulo esférico por el ángulo triédrico correspondiente.
Esta exposición sumaria de la filosofía de la trigonometría se ha dado aquí con el fin de hacer evidente, mediante un ejemplo importante, esa dependencia rigurosa y esas ramificaciones sucesivas que presentan las