Lagrange inventó el cálculo de variaciones de acuerdo con la concepción infinitesimal y, de hecho, mucho antes de emprender la reconstrucción general del análisis trascendental. Cuando hubo ejecutado esta importante reforma, mostró fácilmente cómo podía aplicarse también al cálculo de variaciones, el cual expuso con todo el desarrollo adecuado, según su teoría de funciones derivadas. Pero cuanto más difícil de comprender es el uso del método de las variaciones, debido al mayor grado de abstracción de las ideas consideradas, más necesario es, en su aplicación, economizar los esfuerzos de la mente mediante la adopción de la concepción analítica más directa y rápida, a saber, la de Leibniz. En consecuencia, el propio Lagrange lo ha preferido constantemente en el importante uso que ha hecho del cálculo de variaciones en su "Mecánica analítica". De hecho, no existe la menor vacilación a este respecto entre los geómetras.
SUS RELACIONES CON EL CÁLCULO ORDINARIO.
Para hacer lo más claro posible el carácter filosófico del Cálculo de Variaciones, creo que debo, para concluir, indicar brevemente una consideración que me parece importante, y mediante la cual puedo acercarlo al análisis trascendental ordinario en un grado mayor de lo que Lagrange me parece haber hecho.
Hemos visto en el capítulo precedente que la formación del cálculo de diferencias parciales, creado por D'Alembert, introdujo en el análisis trascendente una nueva idea elemental: la noción de dos clases de incrementos, distintos e independientes el uno del otro, que una función de dos variables puede recibir en virtud del cambio de cada variable por separado.
Es así como la ordenada vertical de una superficie, o cualquier otra magnitud referida a ella, varía de dos maneras que son totalmente distintas, y que pueden seguir las leyes más diversas, según aumentemos una u otra de las dos coordenadas horizontales.
Ahora bien, dicha consideración me parece muy próxima, por su naturaleza, a la que sirve de base general al método de variaciones. Este último, en efecto, no ha hecho en realidad más que transferir a las propias variables independientes la concepción peculiar que ya se había adoptado para las funciones de dichas variables; una modificación que ha ampliado notablemente su uso.
Pienso, por lo tanto, que en lo que se refiere meramente a las concepciones fundamentales, podemos considerar que el cálculo creado por D'Alembert ha establecido una transición natural y necesaria entre el cálculo infinitesimal ordinario y el cálculo de variaciones; cuya derivación parece adecuada para hacer que la noción general sea más clara y sencilla.
Según las diferentes consideraciones indicadas en este capítulo, el método de las variaciones se presenta como el grado más alto de perfección que el análisis de las funciones indirectas ha alcanzado hasta ahora.
En su estado primitivo, este último análisis se presentó como un medio general y poderoso para facilitar el estudio matemático de los fenómenos naturales, introduciendo, para la expresión de sus leyes, la consideración de magnitudes auxiliares, elegidas de tal manera que sus relaciones sean necesariamente más simples y más fáciles de obtener que las de las magnitudes directas.
Pero no se suponía que la formación de estas ecuaciones diferenciales admitiera reglas generales y abstractas.