# GEOMETRÍA MODERNA O ANALÍTICA.
La geometría general (o analítica), al estar enteramente fundada sobre la transformación de las consideraciones geométricas en consideraciones analíticas equivalentes, debemos comenzar por examinar directa y minuciosamente la bella concepción mediante la cual Descartes ha establecido de un modo uniforme la posibilidad constante de dicha correlación.
Además de su propia importancia extrema como medio para perfeccionar en alto grado la ciencia geométrica, o más bien, de fundarla en su totalidad sobre bases racionales, el estudio filosófico de esta admirable concepción debe tener tanto mayor interés a nuestros ojos por caracterizar con perfecta claridad el método general que debe emplearse para organizar las relaciones de lo abstracto con lo concreto en las matemáticas, mediante la representación analítica de los fenómenos naturales.
No hay concepción en toda la filosofía de las matemáticas que merezca mejor fijar toda nuestra atención.
# REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LAS FIGURAS.
Para conseguir expresar todos los fenómenos geométricos imaginables mediante relaciones analiticas sencillas, debemos evidentemente, en primer lugar, establecer un método general para representar analíticamente los temas mismos en los que se encuentran estos fenómenos, es decir, las líneas o las superficies que han de considerarse. Considerado así habitualmente el tema desde un punto de vista puramente analítico, vemos cómo es posible desde entonces concebir de la misma manera los diversos accidentes de los que es susceptible.
Para organizar la representación de las figuras geométricas mediante ecuaciones analíticas, debemos superar previamente una dificultad fundamental: la de reducir los elementos generales de las diversas concepciones de la geometría a ideas meramente numéricas; en una palabra, la de sustituir en geometría las puras consideraciones de cantidad por todas las consideraciones de calidad.
Reducción de la Figura a la Posición. Para este propósito observemos, en primer lugar, que todas las ideas geométricas se relacionan necesariamente con estas tres categorías universales: la magnitud, la figura y la posición de las extensiones que deben considerarse. En cuanto a la primera, no hay evidentemente ninguna dificultad; entra de inmediato en las ideas de los números. Con relación a la segunda, debe señalarse que siempre admitirá ser reducida a la tercera. Pues la figura de un cuerpo resulta evidentemente de la posición mutua de los diferentes puntos de los cuales se compone, de modo que la idea de posición comprende necesariamente la de figura, y toda circunstancia de figura puede traducirse por una circunstancia de posición. Es