Consideremos, a este respecto, que, puesto que todo sistema de coordenadas consiste en determinar un punto mediante la intersección de dos líneas, el sistema adecuado para proporcionar los lugares geométricos más convenientes debe ser aquel en el que estas dos líneas sean lo más simples posible; consideración que limita nuestra elección al sistema rectilíneo.
En verdad, existe evidentemente un número infinito de sistemas que merecen ese nombre, es decir, que emplean únicamente líneas rectas para determinar puntos, además del sistema ordinario que asigna como coordenadas las distancias a dos líneas fijas; tal sería, por ejemplo, aquel en el que las coordenadas de cada punto fuesen los dos ángulos que las líneas rectas, que van desde dicho punto hasta dos puntos fijos, forman con la recta que une estos últimos puntos: de modo que esta primera consideración no es rigurosamente suficiente para explicar la preferencia unánime concedida al sistema común.
Pero al examinar de un modo más profundo la naturaleza de todo sistema de coordenadas, percibimos también que cada una de las dos líneas cuyo encuentro determina el punto considerado debe ofrecer necesariamente en cada instante, entre sus diferentes condiciones de determinación, una sola condición variable, que da origen a la coordenada correspondiente, permaneciendo fijo todo lo demás y constituyendo los ejes del sistema, tomando este término en su acepción matemática más amplia.
La variación es indispensable para poder considerar todas las posiciones posibles; y la fijeza no lo es menos para que puedan existir medios de comparación. Así, en todos los sistemas rectilíneos, cada una de las dos rectas estará sujeta a una condición fija, y la ordenada resultará de la condición variable.
Superioridad de las coordenadas rectilíneas. De estas consideraciones se evidencia, como principio general, que el sistema más favorable para la construcción de los lugares geométricos será necesariamente aquel en el que la condición