El de Lagrange. Esta perfecta unidad del análisis, y este carácter puramente abstracto de sus nociones fundamentales, se encuentran en el más alto grado en la concepción de Lagrange, y se encuentran allí únicamente; es, por esta razón, la más racional y la más filosófica de todas.
Eliminando cuidadosamente toda consideración heterogénea, Lagrange ha reducido el análisis trascendental a su verdadero carácter peculiar, el de presentar una clase muy extensa de transformaciones analíticas, que facilitan en un grado notable la expresión de las condiciones de diversos problemas.
Al mismo tiempo, este análisis se presenta así necesariamente como una simple extensión del análisis ordinario; es tan solo un álgebra superior. Todas las diferentes partes de las matemáticas abstractas, anteriormente tan incoherentes, pudieron desde ese momento concebirse como formando un solo sistema.
Desgraciadamente, esta concepción, que posee propiedades tan fundamentales, independientemente de su notación tan simple y lúcida, y que sin duda está destinada a convertirse en la teoría definitiva del análisis trascendental, debido a su elevada superioridad filosófica sobre todos los demás métodos propuestos, presenta en su estado actual demasiadas dificultades en sus aplicaciones, en comparación con la concepción de Newton, y más aún con la de Leibniz, como para ser adoptada todavía de manera exclusiva.
El propio Lagrange solo ha conseguido con gran dificultad redescubrir, mediante su método, los principales resultados ya obtenidos por el método infinitesimal para la solución de las cuestiones generales de geometría y mecánica; podemos juzgar a partir de ahí qué obstáculos se encontrarían al tratar de la misma manera cuestiones verdaderamente nuevas e importantes.
Es verdad que Lagrange, en varias ocasiones, ha demostrado que las dificultades suscitan, en los hombres de genio, esfuerzos superiores, capaces de conducir a los mayores resultados. Fue así como, al intentar adaptar su método al examen de la curvatura de las líneas, que parecía tan poco propicia para admitir su aplicación, llegó a esa hermosa teoría de los contactos que ha perfeccionado en gran medida esa importante parte de la geometría.
Pero, a pesar de tan felices excepciones, la concepción de Lagrange no ha dejado de ser, en su conjunto, esencialmente inadecuada para las aplicaciones.
El resultado final de la comparación general que he esbozado demasiado brevemente es, pues, como ya se ha sugerido, que, para comprender realmente el análisis trascendental, no debemos considerarlo únicamente en sus principios según las tres concepciones fundamentales de Leibniz, de Newton y de Lagrange, sino que debemos además acostumbrarnos a llevar a cabo casi indiferentemente, según estos tres principales métodos, y especialmente según el primero y el último, la resolución de todas las cuestiones importantes, ya sea del cálculo puro de las funciones indirectas o de sus aplicaciones.
Este es un curso que no podría recomendar con demasiada fuerza a todos aquellos que deseen juzgar filosóficamente esta admirable creación del espíritu humano, así como a aquellos que deseen aprender a hacer uso de este poderoso instrumento con éxito y con facilidad.
En todas las demás partes de la ciencia matemática, la consideración de diferentes métodos para una sola clase de cuestiones puede ser útil, incluso independientemente de su interés histórico, pero no es indispensable; aquí, por el contrario, es estrictamente necesaria.