completo, es decir, si no supiéramos diferenciar a voluntad cualquier función que sea, la diferenciación de segundo orden o de un orden superior de cada función determinada podría engendrar dificultades especiales. Pero la perfecta universalidad del cálculo diferencial nos da claramente la seguridad de poder diferenciar, en cualquier orden que sea, a todas las funciones conocidas que sean, reduciéndose la cuestión a una diferenciación de primer orden constantemente repetida. Esta distinción, por poco importante que sea para el cálculo diferencial, adquiere, sin embargo, una importancia muy grande en el cálculo integral, a causa de la extrema imperfección de este último.
Aplicaciones analíticas. Por último, aunque este no sea el lugar para considerar las diversas aplicaciones del cálculo diferencial, puede hacerse una excepción con aquellas que consisten en la resolución de cuestiones puramente analíticas, las cuales deben, en verdad, tratarse lógicamente como continuación de un sistema de diferenciación, debido a la evidente homogeneidad de las consideraciones implicadas. Estas cuestiones pueden reducirse a tres esenciales.
Primeramente, el desarrollo en serie de funciones de una o más variables, o, más generalmente, la transformación de funciones, que constituye la aplicación más hermosa y más importante del cálculo diferencial al análisis general, y que comprende, además de la serie fundamental descubierta por Taylor, las notables series descubiertas por Maclaurin, John Bernoulli, Lagrange, etc.:
En segundo lugar, la teoría general de los valores máximos y mínimos para cualesquiera funciones, de una o más variables; uno de los problemas más interesantes que el análisis puede presentar, por muy elemental que hoy pueda haberse vuelto, y a cuya solución completa se aplica naturalmente el cálculo diferencial:
En tercer lugar, la determinación general del verdadero valor de las funciones que se presentan bajo una apariencia indeterminada para ciertas hipótesis hechas sobre los valores de las variables correspondientes; la cual es la menos extensa y la menos importante de las tres.
La primera cuestión es sin duda la principal desde todos los puntos de vista; es también la más susceptible de recibir una nueva extensión en el porvenir, especialmente al concebir, de una manera más amplia de lo que se ha hecho hasta ahora, el empleo del cálculo diferencial en la transformación de funciones, sobre cuyo tema Lagrange ha dejado algunas valiosas sugerencias.
Habiendo considerado así de manera sumaria, aunque quizás demasiado breve, los puntos principales del cálculo diferencial, procedo ahora a una exposición igualmente rápida de un esbozo sistemático del cálculo integral, propiamente dicho, es decir, el tema abstracto de la integración.
# EL CÁLCULO INTEGRAL.
Su división fundamental. La división fundamental del cálculo integral se basa en el mismo principio que la del cálculo diferencial, al distinguir entre la integración de fórmulas diferenciales explícitas y la integración de diferenciales implícitas o de ecuaciones diferenciales.
La separación de estos dos casos es aún mucho más profunda en relación con la integración que con la diferenciación.