una recta fija, y la distancia rectilínea desde dicho punto de contacto hasta un cierto origen tomado sobre esa línea recta. Podemos hacer verificaciones análogas y igualmente fáciles con respecto a las definiciones habituales de las espirales, de las epicicloides, etc. Hallaremos constantemente que existe un cierto sistema de coordenadas en el cual obtenemos inmediatamente una ecuación muy simple de la línea propuesta, escribiendo meramente de forma algebraica la condición impuesta por el modo de generación considerado.
Además de su importancia directa como medio para hacer perfectamente aparente la representación necesaria de cada línea por una ecuación, la consideración precedente me parece poseer una verdadera utilidad científica, al caracterizar con precisión la principal dificultad general que se presenta en el establecimiento efectivo de estas ecuaciones, y al proporcionar en consecuencia una indicación interesante respecto al rumbo que debe seguirse en investigaciones de esta clase, las cuales, por su naturaleza, no podrían admitir reglas completas e invariables.
De hecho, puesto que cualquier definición de una línea, al menos entre aquellas que indican un modo de generación, proporciona directamente la ecuación de dicha línea en un cierto sistema de coordenadas, o más bien constituye por sí misma esa ecuación, se sigue que la dificultad que a menudo experimentamos para descubrir la ecuación de una curva mediante ciertas propiedades características, dificultad que a veces es muy grande, debe proceder esencialmente solo de la condición comúnmente impuesta de expresar esta curva analíticamente con la ayuda de un sistema designado de coordenadas, en lugar de admitir indistintamente todos los sistemas posibles.
Estos diferentes sistemas no pueden considerarse en geometría analítica como igualmente apropiados; por diversas razones, la más importante de las cuales se discutirá más adelante, los geómetras piensan que las curvas deben referirse casi siempre, en la medida de lo posible, a coordenadas rectilíneas, propiamente dichas.
Ahora bien, vemos, por lo que precede, que en muchos casos estas coordenadas particulares no serán aquellas con respecto a las cuales la ecuación de la curva resulte establecida directamente por la definición propuesta. La principal dificultad que presenta la formación de la ecuación de una línea consiste entonces realmente, por lo general, en una cierta transformación de coordenadas.
Es indudablemente cierto que esta consideración no somete el establecimiento de estas ecuaciones a un método general verdaderamente completo, cuyo éxito sea siempre seguro; lo cual, por la propia naturaleza del tema, es evidentemente quimérico: pero tal perspectiva puede arrojar mucha luz útil sobre el curso que es adecuado adoptar para llegar al fin propuesto.
Así, después de haber formado en primer lugar la ecuación preparatoria, que se deriva espontáneamente de la definición que estamos considerando, será necesario, para obtener la ecuación perteneciente al sistema de coordenadas que debe admitirse finalmente, esforzarse por expresar en función de estas últimas coordenadas aquellas que corresponden naturalmente al modo de generación dado. Es sobre esta última labor en la que resulta evidentemente imposible dar preceptos invariables y precisos. Solo podemos decir que en este asunto dispondréremos de tantos más recursos cuanto más conozcamos de la verdadera geometría analítica, es decir, cuanto conozcamos la expresión algebraica de un mayor número de fenómenos algebraicos diferentes.