El verdadero espíritu científico es tan moderno que nadie, tal vez, antes de Galileo, había observado jamás el aumento de velocidad que un cuerpo experimenta en su caída: una circunstancia que excluye la hipótesis, hacia la cual nuestra mente (siempre inclinada involuntariamente a suponer en cada fenómeno las funciones más simples, sin otro motivo que su mayor facilidad para concebirlas) se habría visto naturalmente conducida, de que la altura era proporcional al tiempo. En una palabra, esta primera indagación culminó en el descubrimiento de la ley de Galileo.
Cuando esta parte concreta queda terminada, la investigación pasa a ser de otra índole por completo.
Sabiendo que los espacios recorridos por el cuerpo en cada segundo sucesivo de su caída aumentan según la serie de los números impares, tenemos entonces un problema puramente numérico y abstracto: deducir la altura a partir del tiempo, o el tiempo a partir de la altura; y esto consiste en hallar que la primera de estas dos cantidades, según la ley que se ha establecido, es un múltiplo conocido de la segunda potencia de la otra; a partir de lo cual, finalmente, debemos calcular el valor de la una cuando se da el de la otra.
En este ejemplo, la cuestión concreta es más difícil que la abstracta. Lo contrario ocurriría si consideráramos el mismo fenómeno en su mayor generalidad, como he hecho más arriba para otro objeto.
Según las circunstancias, a veces la primera y a veces la segunda de estas dos partes constituirá la principal dificultad de toda la cuestión; pues la ley matemática del fenómeno puede ser muy simple, pero muy difícil de obtener, o puede ser fácil de descubrir, pero muy complicada; de modo que las dos grandes secciones de la ciencia matemática, si las comparamos en su conjunto, deben considerarse exactamente equivalentes en extensión y en dificultad, así como en importancia, como mostraremos más adelante, al considerar cada una de ellas por separado.
Sus naturalezas diferentes. Estas dos partes, esencialmente distintas en su objeto, como acabamos de ver, no lo son menos con respecto a la naturaleza de las indagaciones de las que se componen.
La primera debe llamarse concreta, puesto que depende evidentemente del carácter de los fenómenos considerados, y debe variar necesariamente cuando examinamos nuevos fenómenos; mientras que la segunda es completamente independiente de la naturaleza de los objetos examinados y se ocupa tan solo de las relaciones numéricas que presentan, razón por la cual debe llamarse abstracta.
Unas mismas relaciones pueden existir en un gran número de fenómenos diferentes que, a pesar de su extrema diversidad, serán considerados por el geómetra como ofrecimiento de una cuestión analítica susceptible, cuando se estudia por sí misma, de ser resuelta de una vez por todas.
Así, por ejemplo, la misma ley que existe entre el espacio y el tiempo de la caída vertical de un cuerpo en el vacío se reencuentra en muchos otros fenómenos que no guardan analogía con el primero ni entre sí; pues expresa la relación entre la superficie de un cuerpo esférico y la longitud de su diámetro; determina, del mismo modo, la disminución de la intensidad de la luz o del calor en relación con la distancia de los objetos iluminados o calentados, etc.
La parte abstracta, común a estas diferentes cuestiones matemáticas, habiendo sido tratada con referencia a una de ellas, lo habrá sido de este modo para todas; mientras que la parte concreta tendrá que ser retomada necesariamente para cada cuestión por separado, sin que la solución de ninguna de ellas pueda proporcionar una ayuda directa, a este respecto, para la solución de las demás.