Es fácil comprender la identidad general y necesaria de este método con el de los límites complicado con la idea ajena del movimiento.
En realidad, retomando el caso de la curva, si suponemos, como evidentemente siempre podemos hacer, que el movimiento del punto descritor es uniforme en una cierta dirección, la de la abscisa, por ejemplo, entonces la fluxión de la abscisa será constante, como el elemento del tiempo; para todas las demás cantidades generadas, el movimiento no puede concebirse como uniforme, excepto durante un tiempo infinitesimal.
Ahora bien, siendo la velocidad, en general, según su concepción mecánica, la razón de cada espacio al tiempo empleado en recorrerlo, y siendo este tiempo aquí proporcional al incremento de la abscisa, se sigue que las fluxiones de la ordenada, del arco, del área, etc., no son en realidad otra cosa (rechazando la consideración intermedia del tiempo) que las razones últimas de los incrementos de estas diferentes cantidades al incremento de la abscisa.
Este método de las fluxiones y fluentes es, por tanto, en realidad, solo una manera de representar, mediante una comparación tomada de la mecánica, el método de las razones primeras y últimas, el cual es el único que puede reducirse a un cálculo. Es evidente, pues, que ofrece las mismas ventajas generales en las diversas aplicaciones principales de la análisis trascendental, sin que sea necesario presentar pruebas especiales de ello.
# MÉTODO DE LAGRANGE.
Funciones derivadas. La concepción de Lagrange, en su admirable simplicidad, consiste en representar el análisis trascendental como un gran artificio algebraico, mediante el cual, con el fin de facilitar el establecimiento de ecuaciones, introducimos, en lugar de las funciones primitivas, o conjuntamente con ellas, sus funciones derivadas; esto es, según la definición de Lagrange, el coeficiente del primer término del incremento de cada función, ordenado según las potencias ascendentes del incremento de su variable. El cálculo especial de las funciones indirectas tiene por objeto constante, aquí así como en las concepciones de Leibniz y de Newton, eliminar estas derivadas que han sido empleadas de este modo como auxiliares, para deducir de sus relaciones las ecuaciones correspondientes entre las magnitudes primitivas.
Una prolongación del Análisis ordinario.
El análisis trascendental no es, por tanto, sino una simple aunque muy considerable prolongación del análisis ordinario. Los geómetras están habituados desde hace mucho tiempo a introducir en las investigaciones analíticas, en lugar de las magnitudes mismas que deseaban estudiar, sus diferentes potencias, o sus logaritmos, o sus senos, etc., con el fin de simplificar las ecuaciones, y aun de obtenerlas con mayor facilidad.
Esta derivación sucesiva es un artificio de la misma naturaleza, solo que de mayor extensión, y que procura, en consecuencia, recursos mucho más importantes para este objeto común.
Pero, aunque podemos concebir fácilmente, a priori, que la consideración auxiliar de estas derivadas puede facilitar el establecimiento de las ecuaciones, no es fácil explicar por qué esto debe seguirse necesariamente de este modo de derivación más que de cualquier otra transformación.
Tal es el punto débil de la gran idea de Lagrange. Las ventajas precisas de este análisis no pueden comprenderse todavía de manera abstracta, sino únicamente demostrarse considerando por separado cada cuestión principal, de modo que la comprobación resulta a menudo sumamente laboriosa.