Tales son los dos motivos generales que obligan a los geómetras a considerar por separado la extensión con respecto a una o a dos dimensiones, así como relativamente a las tres juntas.
Las nociones generales de superficie y de línea han sido formadas por el espíritu humano a fin de poder pensar, de manera permanente, en la extensión en dos direcciones, o en una sola.
Las expresiones hiperbólicas empleadas habitualmente por los geómetras para definir estas nociones tienden a transmitir ideas falsas de ellas; pero, examinadas en sí mismas, no tienen otro objeto que permitirnos razonar con facilidad respecto a estos dos tipos de extensión, haciendo abstracción completa de aquello que no debe tomarse en consideración.
Ahora bien, para esto basta con concebir la dimensión que deseamos eliminar como si se volviera gradualmente cada vez más pequeña, permaneciendo iguales las dos restantes, hasta que llega a un grado de tenuidad tal que ya no puede fijar la atención.
Es así como adquirimos de forma natural la idea real de una superficie y, mediante una segunda operación análoga, la idea de una línea, repitiendo para la anchura lo que primero habíamos hecho para el espesor.
Finalmente, si repetimos de nuevo la misma operación, llegamos a la idea de un punto, o de una extensión considerada únicamente con referencia a su lugar, haciéndose abstracción de toda magnitud y destinado en consecuencia a determinar posiciones.
Las superficies tienen evidentemente, por otra parte, la propiedad general de circunscribir exactamente volúmenes; y del mismo modo, las líneas, a su vez, circunscriben superficies y están limitadas por puntos. Pero esta consideración, a la que a menudo se da demasiada importancia, es solo secundaria.
Las superficies y las líneas son, pues, en realidad, concebidas siempre con tres dimensiones; sería, en efecto, imposible representarse una superficie de otro modo que como una lámina sumamente delgada, y una línea de otro modo que como un hilo infinitamente fino.
Es evidente incluso que el grado de tenuidad atribuido por cada individuo a las dimensiones de las cuales desea hacer abstracción no es constantemente idéntico, pues debe depender del grado de sutileza de sus observaciones geométricas habituales.
Esta falta de uniformidad no tiene, por lo demás, ningún inconveniente real, puesto que basta, para que las ideas de superficie y de línea satisfagan la condición esencial de su destino, con que cada uno se represente las dimensiones que deben ser desdeñadas como más pequeñas que todas aquellas cuya magnitud su experiencia diaria le da ocasión de apreciar.
Vemos así cuán carentes de todo sentido son las discusiones fantásticas de los metafísicos sobre los fundamentos de la geometría. Debe observarse también que estas ideas primordiales son habitualmente presentadas por los geómetras de un modo afilosófico, ya que, por ejemplo, explican las nociones de las diversas clases de extensión en un orden absolutamente inverso al de su dependencia natural, lo que produce a menudo los más graves inconvenientes en la enseñanza elemental.