# GEOMETRÍA ANTIGUA O SINTÉTICA.
Constituyendo necesariamente el método geométrico de los antiguos un departamento preliminar en el sistema dogmático de la geometría, destinado a proveer a la geometría general de cimientos indispensables, conviene ahora comenzar por determinar en qué consiste estrictamente esta función preliminar de la geometría especial, reducida así a los límites más estrechos posibles.
SU DEBIDA EXTENSIÓN.
- Líneas; Polígonos; Poliedros.
Al considerarlo bajo este punto de vista, es fácil reconocer que podríamos limitarlo al estudio de la línea recta únicamente en lo que concierne a la geometría de las líneas; a la cuadratura de las áreas planas rectilíneas; y, por último, a la cubatura de los cuerpos limitados por caras planas.
Las proposiciones elementales relativas a estas tres cuestiones fundamentales constituyen, de hecho, el punto de partida necesario de todas las investigaciones geométricas; ellas por sí solas no pueden obtenerse sino mediante un estudio directo del objeto; mientras que, por el contrario, la teoría completa de todas las figuras restantes, incluso la del círculo, y la de las superficies y volúmenes que se conectan con él, puede comprenderse hoy en día por completo en el dominio de la geometría general o analítica; proporcionando estos elementos primitivos desde un principio ecuaciones que son suficientes para permitir la aplicación del cálculo a las cuestiones geométricas, lo cual no habría sido posible sin esta condición previa.
De esta consideración resulta que, en la práctica común, le damos a la geometría elemental más extensión de la que le sería rigurosamente necesaria; ya que, además de la línea recta, los polígonos y los poliedros, incluimos también en ella el círculo y los cuerpos "redondos"; cuyo estudio podría ser, sin embargo, tan puramente analítico como el, por ejemplo, de las cónicas.
Una veneración sin reflexión por la antigüedad contribuye a mantener este defecto de método; pero la mejor razón que puede darse de él es el serio inconveniente que habría para la instrucción ordinaria en posponer, hasta una época tan lejana de la educación matemática, la solución de varias cuestiones esenciales que son susceptibles de una aplicación directa y continua a un gran número de usos importantes.
De hecho, para proceder de la manera más racional, deberíamos emplear el cálculo integral para obtener los interesantes resultados relativos a la longitud o al área del círculo, o a la cuadratura de la esfera, etc., que han sido determinados por los antiguos a partir de consideraciones extremadamente simples.
Este inconveniente tendría poca importancia con respecto a las personas destinadas a estudiar el conjunto de la ciencia matemática, y la ventaja de proceder en un orden perfectamente lógico tendría un valor comparativo mucho mayor.
Pero siendo el caso contrario el más frecuente, las teorías tan esenciales se han retenido necesariamente en la geometría elemental. Quizá las secciones cónicas, la cicloide, etc., podrían añadirse ventajosamente en tales