volumen líquido equivalente, establecemos directamente la comparación de los dos volúmenes, aprovechando la propiedad que poseen las masas líquidas de adoptar cualquier forma deseada. > Pero todos los medios de esta índole son puramente mecánicos, y la geometría racional los rechaza
Para hacer más sensible la diferencia entre estos modos de determinación y las verdaderas mediciones geométricas, citaré un solo ejemplo muy notable: la manera en que Galileo determinó la relación entre la cicloide ordinaria y la de su círculo generatriz.
La geometría de su tiempo aún era insuficiente para la solución racional de tal problema. Galileo concebía la idea de descubrir dicha relación mediante un experimento directo.
Habiendo pesado con la mayor exactitud posible dos placas del mismo material y de igual espesor, teniendo una de ellas la forma de un círculo y la otra la de la cicloide generada, halló que el peso de esta última era siempre el triple del de la primera; de donde infirió que el área de la cicloide es el triple de la del círculo generatriz, un resultado concordante con la solución verídica obtenida posteriormente por Pascal y Wallis.
Tal éxito depende evidentemente de la extrema simplicidad de la relación buscada; y podemos comprender la insuficiencia necesaria de tales expedientes, aun cuando sean efectivamente aplicables.
Vemos claramente, por lo que antecede, la naturaleza de aquella parte de la geometría relativa a los volúmenes y de la relativa a las superficies. Pero el carácter de la geometría de las líneas no es tan aparente, puesto que, para simplificar la exposición, hemos considerado la medida de las líneas como hecha directamente. Se hace necesaria, por tanto, una explicación complementaria respecto a ellas.
Measurement of curved Lines. For this purpose, it is sufficient to distinguish between the right line and curved lines, the measurement of the first being alone regarded as direct, and that of the other as always indirect.
Although superposition is sometimes strictly practicable for curved lines, it is nevertheless evident that truly rational geometry must necessarily reject it, as not admitting of any precision, even when it is possible.
La geometría de líneas tiene, pues, por objeto general, reducir en cada caso la medida de las líneas curvas a la de las líneas rectas; y en consecuencia, desde el punto de vista más amplio, reducir a simples cuestiones de líneas rectas todas las cuestiones relativas a la magnitud de cualquier curva que sea.
Para comprender la posibilidad de semejante transformación, debemos observar que en toda curva existen siempre ciertas líneas rectas cuya longitud ha de ser suficiente para determinar la de la curva. Así, en un círculo, es evidente que a partir de la longitud del radio debemos poder deducir la de la circunferencia; del mismo modo, la longitud de una elipse depende de la de sus dos ejes; la longitud de una cicloide, del diámetro del círculo generatriz, etc.; y si, en lugar de considerar la curva en su totalidad, exigimos, de un modo más general, la longitud de cualquier arco, bastará con añadir a los diferentes parámetros rectilíneos que determinan toda la curva, la cuerda del arco propuesto, o las coordenadas de sus extremidades.
Descubrir la relación que existe entre la longitud de una línea curva y la de líneas rectas similares, es el problema general de la parte de la geometría que se relaciona con el estudio de las líneas.