combinaciones analíticas, y cuya lista se ha dado en el primer capítulo, en la página 51; pues la diferenciación de las funciones compuestas se deduce evidentemente, de un modo inmediato y necesario, de la de las funciones simples que las componen. Se reduce, pues, propiamente todo el sistema de la diferenciación al conocimiento de estos diez diferenciales fundamentales, y al de los dos principios generales acabados de mencionar, que subordinan a él todos los demás casos posibles.
Vemos, por la combinación de estas diferentes consideraciones, cuán simple y cuán perfecto es el sistema entero del cálculo diferencial.
Constituye ciertamente, en sus relaciones lógicas, el espectáculo más interesante que el análisis matemático puede presentar a nuestro entendimiento.
Transformación de funciones derivadas para nuevas variables.
El esbozo general que acabo de trazar sumariamente presentaría, sin embargo, una deficiencia importante si no indicara aquí claramente una teoría final que constituye, por su naturaleza, el complemento indispensable del sistema de diferenciación.
Es aquella que tiene por objeto la transformación constante de las funciones derivadas, como resultado de cambios determinados en las variables independientes, de donde resulta la posibilidad de referir a nuevas variables todas las fórmulas diferenciales generales establecidas primitivamente para otras.
Esta cuestión está hoy resuelta de la manera más completa y más simple, como todas aquellas de las que se compone el cálculo diferencial.
Es fácil concebir la importancia general que debe tener en cualquiera de las aplicaciones del análisis trascendental, cuyos recursos fundamentales puede considerarse que acrecienta, al permitirnos elegir (para formar las ecuaciones diferenciales, en primer lugar, con mayor facilidad) aquel sistema de variables independientes que pueda parecer más ventajoso, aunque no haya de conservarse finalmente.
Es así, por ejemplo, como la mayoría de las cuestiones principales de la geometría se resuelven mucho más fácilmente refiriendo las líneas y superficies a coordenadas rectilíneas, y como podemos, sin embargo, tener ocasión de expresar dichas líneas, etc., analíticamente con la ayuda de coordenadas polares, o de cualquier otra manera.
Podremos entonces comenzar la solución diferencial del problema empleando el sistema rectilíneo, pero solo como un paso intermedio, a partir del cual, mediante la teoría general aquí mencionada, podemos pasar al sistema definitivo, el cual a veces no habría podido ser considerado directamente.
Diferentes órdenes de diferenciación. En la clasificación lógica del cálculo infinitesimal que acaba de darse, algunos podrían sentirse inclinados a sugerir una omisión grave, ya que no he subdividido cada una de sus cuatro partes esenciales según otra consideración general que a primera vista parece muy importante; a saber, la del orden superior o inferior de diferenciación. Pero es fácil comprender que esta distinción no tiene ninguna influencia real en el cálculo diferencial, puesto que no da lugar a ninguna dificultad nueva. Si, en efecto, el cálculo diferencial no fuera rigurosamente