Capítulo I. Vista general del análisis matemático

que una función sea abstracta o concreta, la cuestión de si una determinada función es verdaderamente abstracta y, por tanto, susceptible de entrar en verdaderas ecuaciones analíticas, se convierte en una simple cuestión de hecho, en la medida en que vamos a enumerar todas las funciones de esta especie.

Enumeración de Funciones Abstractas. A primera vista esta enumeración parece imposible, siendo infinitas en número las funciones analíticas distintas. Pero cuando las dividimos en simples y compuestas, la dificultad desaparece; pues, aunque el número de las diferentes funciones consideradas en el análisis matemático es en verdad infinito, están, por el contrario, aun hoy en día, compuestas de un número muy pequeño de funciones elementales, que pueden señalarse fácilmente, y que son evidentemente suficientes para decidir el carácter abstracto o concreto de cualquier función dada; la cual será de la una o de la otra naturaleza, según esté compuesta exclusivamente de estas funciones abstractas simples, o según incluya otras.

Evidently tenemos que considerar, para este propósito, únicamente las funciones de una sola variable, ya que aquellas relativas a varias variables independientes son constantemente, por su naturaleza, más o menos compuestas.

Sea x la variable independiente, y la variable correlativa que depende de ella. Los diferentes modos simples de dependencia abstracta, que ahora podemos concebir entre y y x, se expresan mediante las diez fórmulas elementales siguientes, en las cuales cada función está acoplada con su inversa, es decir, con aquella que se obtendría de la función directa refiriendo x a y, en lugar de referir y a x.