que los nuevos elementos difieran de los precedentes solo en cantidades infinitamente pequeñas en comparación con ellos.
Es así como será posible, en geometría, tratar las líneas curvas como compuestas por una infinidad de elementos rectilíneos, las superficies curvas como formadas por elementos planos, y, en la mecánica, los movimientos variables como una serie infinita de movimientos uniformes, que se suceden unos a otros en intervalos de tiempo infinitamente pequeños.
Ejemplos.
Considerando la importancia de esta admirable concepción, creo que debo completar aquí la ilustración de su carácter fundamental mediante la indicación sumaria de algunos ejemplos principales.
- Tangentes. Sea requerido determinar, para cada punto de una curva plana, cuya ecuación viene dada, la dirección de su tangente; una cuestión cuya solución general fue el objeto primitivo de los inventores del análisis trascendente. Consideraremos la tangente como una secante que une dos puntos infinitamente próximos el uno al otro; y entonces, designando por dy y dx las diferencias infinitamente pequeñas de las coordenadas de esos dos puntos, los principios elementales de la geometría darán inmediatamente la ecuación t = dy/dx para la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje de las abscisas la tangente deseada, siendo esta la manera más sencilla de fijar su posición en un sistema de coordenadas rectilíneas. Establecida esta ecuación, común a todas las curvas, la cuestión se reduce a un simple problema analítico, que consistirá en eliminar los infinitesimales dx y dy, introducidos como auxiliares, determinando en cada caso particular, mediante la ecuación de la curva propuesta, la razón de dy a dx, lo cual se hará constantemente por métodos uniformes y muy sencillos.
- Rectificación de un arco.
En segundo lugar, supongamos que deseamos conocer la longitud del arco de cualquier curva, considerado como una función de las coordenadas de sus extremos. Sería imposible establecer directamente la ecuación entre este arco s y estas coordenadas, mientras que es fácil hallar la relación correspondiente entre los diferenciales de estas diferentes magnitudes.
Los teoremas más simples de la geometría elemental darán de hecho inmediatamente, considerando el arco infinitamente pequeño ds como una línea recta, las ecuaciones ds2 = dy2 + dx2, o ds2 = dx2 + dy2 + dz2, según que la curva sea de simple o doble curvatura.
En cualquiera de los dos casos, la cuestión pertenece ya enteramente al dominio del análisis, el cual, mediante la eliminación de los diferenciales (que es el objeto peculiar del cálculo de las funciones indirectas), nos reconducirá desde esta relación a la que existe entre las propias cantidades finitas bajo examen.
- Cuadratura de una curva. Lo mismo sucedería con la cuadratura de áreas curvilíneas. Si la curva es plana y está referida a coordenadas rectilíneas, concebiremos que el área A comprendida entre esta curva, el eje de las abscisas y dos coordenadas extremas, aumenta en una cantidad infinitamente pequeña dA, como resultado de un incremento correspondiente de la abscisa. La relación entre estos dos diferenciales se puede obtener inmediatamente con la mayor facilidad sustituyendo el elemento curvilíneo del área propuesta por el rectángulo formado por la ordenada extrema y el elemento de la