importante como la primera, es la extrema generalidad de las fórmulas diferenciales, que expresan en una sola ecuación cada fenómeno determinado, por muy variados que sean los temas en relación con los cuales se considere. Así vemos, en los ejemplos precedentes, que una sola ecuación diferencial da las tangentes de todas las curvas, otra sus rectificaciones, una tercera sus cuadraturas; y del mismo modo, una fórmula invariable expresa la ley matemática de cada movimiento variable; y, finalmente, una sola ecuación representa constantemente la distribución del calor en cualquier cuerpo y para cualquier caso. Esta generalidad, que es tan sumamente notable y que constituye para los geómetras la base de las consideraciones más elevadas, es una consecuencia afortunada y necesaria del espíritu mismo del análisis trascendental, especialmente en la concepción de Leibniz.
Así el análisis infinitesimal no solo ha proporcionado un método general para formar indirectamente ecuaciones que hubiera sido imposible descubrir de un modo directo, sino que también nos ha permitido considerar, para el estudio matemático de los fenómenos naturales, un nuevo orden de leyes más generales, que sin embargo presentan una significación clara y precisa a toda mente habituada a su interpretación.
En virtud de esta segunda propiedad característica, el sistema entero de una ciencia inmensa, como la geometría o la mecánica, se ha condensado en un pequeño número de fórmulas analíticas, a partir de las cuales la mente humana puede deducir, mediante reglas ciertas e invariables, la solución de todos los problemas particulares.
Demostración del método. Para completar la exposición general de la concepción de Leibniz, falta por considerar la demostración del procedimiento lógico al que conduce, y esta, por desgracia, es la parte más imperfecta de este hermoso método.
Al principio del análisis infinitesimal, los geómetras más célebres concedieron con razón más importancia a extender el inmortal descubrimiento de Leibniz y a multiplicar sus aplicaciones que a establecer rigurosamente las bases lógicas de sus operaciones.
Se contentaron durante mucho tiempo con responder a las objeciones de los geómetras de segundo orden con la solución inesperada de los problemas más difíciles; sin duda persuadidos de que en la ciencia matemática, mucho más que en cualquier otra, podemos acoger audazmente los nuevos métodos, incluso cuando su explicación racional es imperfecta, siempre que sean fructíferos en resultados, puesto que sus verificaciones, mucho más fáciles y numerosas, no permitirían que ningún error permaneciera oculto por mucho tiempo.
Pero este estado de cosas no podía durar mucho, y fue necesario retroceder hasta los cimientos mismos del análisis de Leibniz para probar, de manera perfectamente general, la rigurosa exactitud de los procedimientos empleados en este método, a pesar de las aparentes infracciones a las reglas ordinarias del razonamiento que este permitía.
Leibnitz, instado a responder, había presentado una explicación enteramente errónea, diciendo que trataba las cantidades infinitamente pequeñas como incomparables, y que las desdeñaba en comparación con las cantidades finitas, «como granos de arena en comparación con el mar»: un punto de vista que habría cambiado por completo la naturaleza de su análisis al reducirlo a un mero cálculo aproximativo, el cual, bajo este