Una vez formada esta concepción abstracta, Lagrange pudo reducir con facilidad, y de la manera más general, todos los problemas de isoperímetros a la simple teoría ordinaria de máximos y mínimos. Para obtener una idea clara de esta gran y feliz transformación, debemos considerar previamente una distinción esencial que surge en las diferentes cuestiones de isoperímetros.
Dos clases de cuestiones. Estas investigaciones deben dividirse, en efecto, en dos clases generales, según que los máximos y mínimos requeridos sean absolutos o relativos, empleando las expresiones abreviadas de los geómetras.
Cuestiones de la primera clase. El primer caso es aquel en el que las integrales definidas indeterminadas, cuyo máximo o mínimo se busca, no están sometidas, por la naturaleza del problema, a ninguna condición; como ocurre, por ejemplo, en el problema de la braquistócrona, en el que la elección debe hacerse entre todas las curvas imaginables.
El segundo caso tiene lugar cuando, por el contrario, las integrales variables solo pueden variar según ciertas condiciones, que por lo ordinario consisten en que otras integrales definidas (las cuales dependen, de igual manera, de las funciones requeridas) conservan siempre un mismo valor dado; como sucede, por ejemplo, en todas las cuestiones geométricas relativas a las figuras isoperimétricas reales, y en las cuales, por la naturaleza del problema, la integral relativa a la longitud de la curva, o al área de la superficie, debe permanecer constante durante la variación de aquella integral que es el objeto de la investigación propuesta.
El Cálculo de Variaciones proporciona inmediatamente la solución general de las cuestiones de la primera clase; pues es evidente que se sigue, de la teoría ordinaria de máximos y mínimos, que la relación requerida debe reducir a cero la variación de la integral propuesta con respecto a cada variable independiente; lo cual da la condición común tanto al máximo como al mínimo: y, como característica para distinguir el uno del otro, que la variación de segundo orden de la misma integral debe ser negativa para el máximo y positiva para el mínimo.
Así, por ejemplo, en el problema de la braquistócrona, tendremos, para determinar la naturaleza de la curva buscada, la ecuación de condición δ∫_{z_{2}}z_{1}√([1 + (f'(z))2 + (π'(z))2]/(2gz))dz = 0, la cual, al descomponerse en dos, respecto a las dos funciones desconocidas f y π, que son independientes la una de la otra, expresará por completo la definición analítica de la curva requerida.
La única dificultad peculiar de este nuevo análisis consiste en la eliminación de la característica , para la cual el cálculo de variaciones proporciona reglas invariables y completas, fundadas, en general, en el método de "integración por partes", del cual Lagrange ha derivado así una ventaja inmensa.
El objeto constante de esta primera elaboración analítica (cuyo tratamiento detallado no procede aquí) es llegar a ecuaciones diferenciales reales, lo cual siempre puede hacerse; y con ello la cuestión pasa al ámbito del análisis trascendental ordinario, el cual proporciona la solución, al menos en cuanto a reducirla a la pura algebra si la integración puede efectuarse.
El objeto general del método de variaciones es efectuar esta transformación, para la cual Lagrange ha establecido reglas que son simples, invariables y de éxito seguro.
Ecuaciones de límites.