La integración verdaderamente analítica de las funciones trascendentes está aún muy poco avanzada, ya sea para las funciones exponenciales, o logarítmicas, o circulares. Pero un número muy pequeño de casos de estas tres especies diferentes ha sido tratado hasta ahora, y aquellos elegidos entre los más simples; y aun así los cálculos necesarios son en la mayoría de los casos extremadamente laboriosos. Una circunstancia que debemos señalar particularmente en su conexión filosófica es que los diferentes procedimientos de cuadratura no guardan relación con ninguna visión general de la integración, y consisten en simples artificios muy incoherentes entre sí, y muy numerosos, debido a la extensión muy limitada de cada uno.
Conviene, sin embargo, señalar aquí uno de estos artificios que, sin ser propiamente un método de integración, resulta notable por su generalidad; se trata del procedimiento inventado por Juan Bernoulli, conocido bajo el nombre de integración por partes, mediante el cual toda integral puede reducirse a otra cuya obtención resulta a veces más sencilla.
Esta ingeniosa relación merece ser señalada por otra razón: por haber sugerido la primera idea de aquella transformación de integrales aún desconocida, que recientemente ha recibido una mayor extensión y de la cual el señor Fourier ha hecho un uso tan nuevo e importante en las cuestiones analíticas que produce la teoría del calor.
Integración de funciones algebraicas.
En cuanto a la integración de funciones algebraicas, está más avanzada. Sin embargo, apenas sabemos nada en relación con las funciones irracionales, cuyas integrales solo se han obtenido en casos extremadamente limitados, y en particular volviéndolas racionales.
La integración de funciones racionales es hasta ahora la única teoría del cálculo integral que ha permitido ser tratada de una manera verdaderamente completa; desde un punto de vista lógico, constituye, pues, su parte más satisfactoria, pero tal vez también la menos importante.
Es incluso esencial señalar, para tener una idea justa de la extrema imperfección del cálculo integral, que este caso, por limitado que sea, no está enteramente resuelto excepto en lo que concierne propiamente a la integración vista de un modo abstracto; pues, en la ejecución, la teoría ve su progreso la mayoría de las veces totalmente detenido, independientemente de la complicación de los cálculos, por la imperfección del análisis ordinario, dado que hace que la integración dependa finalmente de la resolución algebraica de las ecuaciones, lo cual limita en gran medida su uso.
Para comprender de manera general el espíritu de los diferentes procedimientos que se emplean en las cuadraturas, debemos observar que, por su naturaleza, solo pueden fundarse primitivamente en la diferenciación de las diez funciones simples.
Los resultados de esto, considerados inversamente, establecen tantos teoremas directos del cálculo integral, los únicos que pueden conocerse directamente. Todo el arte de la integración consiste después, como se ha dicho al principio de este capítulo, en reducir todas las demás cuadraturas, en la medida de lo posible, a este pequeño número de otras elementales, lo cual, desgraciadamente, somos incapaces de lograr en la mayoría de los casos.