Es, pues, solo multiplicando tanto como sea posible las propiedades características de cada figura abstracta, como podemos estar seguros, de antemano, de reconocerla en el estado concreto, y de sacar así partido de todos nuestros trabajos racionales, verificando en cada caso la definición que es susceptible de ser directamente comprobada. Esta definición es casi siempre la única en circunstancias dadas, y varía, por otra parte, para una misma figura, con las diferentes circunstancias; una doble razón para su determinación previa.
Ilustración: Órbitas de los planetas.
La geometría de los cielos nos proporciona un ejemplo muy memorable en este asunto, muy adecuado para mostrar la necesidad general de tal estudio. Sabemos que Kepler descubrió que la elipse es la curva que los planetas describen alrededor del sol, y los satélites alrededor de sus planetas.
Ahora bien, ¿habría sido posible alguna vez este descubrimiento fundamental, que recreó la astronomía, si los geómetras se hubiesen visto siempre limitados a concebir la elipse únicamente como la sección oblicua de un cono circular por un plano? Ninguna definición semejante, es evidente, habría permitido tal verificación.
La propiedad más general de la elipse, a saber, que la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos es una cantidad constante, es sin duda mucho más apta, por su naturaleza, para hacer que la curva sea reconocida en este caso, pero aun así no es directamente adecuada.
La única característica que aquí puede verificarse de inmediato es la que se deriva de la relación que existe en la elipse entre la longitud de las distancias focales y su dirección; la única relación que admite una interpretación astronómica, en tanto expresa la ley que vincula la distancia del planeta al sol con el tiempo transcurrido desde el comienzo de su revolución.
Era, pues, necesario que los trabajos puramente especulativos de los geómetras griegos sobre las propiedades de las secciones cónicas hubiesen presentado previamente su generación bajo una multitud de puntos de vista diferentes, antes de que Kepler pudiera pasar así de lo abstracto a lo concreto, eligiendo entre todas estas características diferentes aquella que pudiera demostrarse más fácilmente para las órbitas planetarias.
Ilustración: Figura de la Tierra. Otro ejemplo del mismo orden, pero relativo a las superficies, se presenta al considerar la importante cuestión de la figura de la tierra.
Si nunca hubiéramos conocido otra propiedad de la esfera que su carácter primitivo de tener todos sus puntos equidistantes de un punto interior, ¿cómo habríamos podido descubrir jamás que la superficie de la tierra era esférica? Para esto, fue necesario deducir previamente de esta definición de la esfera algunas propiedades capaces de ser verificadas mediante observaciones hechas únicamente sobre la superficie, tales como la razón constante que existe entre la longitud del camino recorrido en la dirección de cualquier meridiano de una esfera que se dirige hacia un polo, y la altura angular de este polo sobre el horizonte en cada punto.
Otro ejemplo, pero que implica una serie mucho más larga de especulaciones preliminares, es la demostración subsiguiente de que la tierra no es rigurosamente esférica, sino que su forma es la de un elipsoide de revolución.
Después de tales ejemplos, sería innecesario dar otros, que cualquiera por su cuenta puede multiplicar fácilmente. Todos ellos prueban que, sin un conocimiento muy amplio de las diferentes propiedades de cada