entren en él de manera directa, por sí mismos o por los arcos circulares que les son proporcionales; o de manera indirecta, por las cuerdas de estos arcos, que por ello reciben el nombre de sus líneas trigonométricas. De estos dos sistemas de trigonometría, el segundo fue necesariamente el único adoptado en su origen, por ser el único practicable, ya que el estado de la geometría facilitaba bastante encontrar relaciones exactas entre los lados de los triángulos y las líneas trigonométricas que representan los ángulos, mientras que habría sido absolutamente imposible en aquella época establecer ecuaciones entre los lados y los ángulos mismos.
Ventajas de la introducción de las Líneas Trigonométricas.
En la actualidad, puesto que la solución puede obtenerse indistintamente por uno u otro sistema, ese motivo de preferencia ya no existe; pero los geómetras no han dejado por ello de persistir en seguir por elección el sistema admitido primitivamente por necesidad; pues la misma razón que permitió obtener estas ecuaciones trigonométricas con mucha mayor facilidad, debe del mismo modo, según es aún más fácil de concebir a priori, hacer estas ecuaciones mucho más simples, ya que entonces existen solo entre líneas rectas, en lugar de establecerse entre líneas rectas y arcos de círculo. Tal consideración tiene tanta más importancia cuanto que la cuestión se refiere a fórmulas que son eminentemente elementales y están destinadas a ser empleadas continuamente en todas las partes de la ciencia matemática, así como en todas sus diversas aplicaciones.
Podría objetarse, sin embargo, que cuando un ángulo es dado, lo es, en realidad, siempre por sí mismo, y no por sus líneas trigonométricas; y que cuando es desconocido, es su valor angular el que propiamente debe determinarse, y no el de ninguna de sus líneas trigonométricas.
Parece, según esto, que tales líneas no son sino intermediarios inútiles entre los lados y los ángulos, los cuales deben ser finalmente eliminados, y cuya introducción no parece capaz de simplificar la investigación propuesta.
Es en verdad importante explicar, con más generalidad y precisión de lo habitual, la gran utilidad real de este modo de proceder.
División de la Trigonometría en dos partes.
Consiste en que la introducción de estas magnitudes auxiliares divide toda la cuestión de la trigonometría en otras dos esencialmente distintas, una de las cuales tiene por objeto pasar de los ángulos a sus líneas trigonométricas, o a la inversa, y la otra propone determinar los lados de los triángulos mediante las líneas trigonométricas de sus ángulos, o a la inversa.
Ahora bien, la primera de estas dos cuestiones fundamentales es evidentemente susceptible, por su naturaleza, de ser enteramente tratada y reducida a tablas numéricas de una vez por todas, considerando todos los ángulos posibles, puesto que depende únicamente de dichos ángulos, y en absoluto de los triángulos particulares en los que puedan intervenir en cada caso; mientras que la solución de la segunda cuestión debe renovarse necesariamente, al menos en sus relaciones aritméticas, para cada nuevo triángulo que sea necesario resolver.
Esta es la razón por la cual la primera porción de la obra completa, que sería precisamente la más laboriosa, ya no se toma en cuenta, al realizarse siempre de antemano; mientras que, si dicha descomposición no se hubiera llevado a cabo, nos habríamos hallado evidentemente bajo la obligación de recomenzar el cálculo entero en cada caso particular.