El análisis matemático es, por tanto, la verdadera base racional del conjunto de nuestro sistema de conocimientos actuales. Constituye la primera y la más perfecta de todas las ciencias fundamentales. Las ideas de las que se ocupa son las más universales, las más abstractas y las más simples que nos es posible concebir.
Esta naturaleza peculiar del análisis matemático nos permite explicar fácilmente por qué, cuando se emplea adecuadamente, es un instrumento tan poderoso, no solo para dar mayor precisión a nuestros conocimientos reales, lo cual es evidente por sí mismo, sino especialmente para establecer una coordinación infinitamente más perfecta en el estudio de los fenómenos que admiten tal aplicación; pues, habiéndose generalizado y simplificado nuestras concepciones de tal modo que una sola cuestión analítica, resuelta en abstracto, contiene la solución implícita de una gran cantidad de diversas cuestiones físicas, la mente humana debe adquirir necesariamente por estos medios una mayor facilidad para percibir relaciones entre fenómenos que al principio parecían enteramente distintos unos de otros.
Vemos así surgir naturalmente, por medio del análisis, las aproximaciones más frecuentes y más inesperadas entre problemas que al principio no ofrecían ninguna conexión aparente, y que a menudo terminamos viendo como idénticos.
¿Podríamos, por ejemplo, sin la ayuda del análisis, percibir la menor semejanza entre la determinación de la dirección de una curva en cada uno de sus puntos y la de la velocidad adquirida por un cuerpo en cada instante de su movimiento variable? Y, sin embargo, estas cuestiones, por diferentes que sean, no componen sino una sola ante los ojos del geómetra.
La alta perfección relativa del análisis matemático es igualmente perceptible. Esta perfección no se debe, como algunos han pensado, a la naturaleza de los signos empleados como instrumentos de razonamiento, por eminentemente concisos y generales que sean.
En realidad, todas las grandes ideas analíticas se han formado sin que los signos algebraicos hayan sido de ninguna ayuda esencial, excepto para desarrollarlas después de que la mente las hubiera concebido.
La perfección superior de la ciencia del cálculo se debe principalmente a la extrema simplicidad de las ideas que considera, cualesquiera que sean los signos con los que se expresen; de modo que no hay la menor esperanza, mediante ningún artificio del lenguaje científico, de perfeccionar en el mismo grado las teorías que se refieren a materias más complejas y que están necesariamente condenadas por su naturaleza a una inferioridad lógica mayor o menor.
# LA EXTENSIÓN DE SU CAMPO.
Nuestro examen del carácter filosófico de la ciencia matemática permanecería incompleto si, después de haber considerado su objeto y composición, no examináramos la extensión real de su dominio.
Su universalidad. Para este propósito es indispensable percibir, ante todo, que, desde el punto de vista puramente lógico, esta ciencia es por sí misma necesaria y rigurosamente universal; pues no hay cuestión alguna que no pueda concebirse en último término como consistente en determinar ciertas cantidades a partir de otras mediante ciertas relaciones, y consiguientemente como susceptible de reducirse, en el análisis final, a una simple cuestión de números. En