las ecuaciones consideradas, mientras que la solución numérica sería entonces perfectamente inútil. Es solo por falta de conocer la resolución algebraica de las ecuaciones con una sola cantidad incógnita, que nos vemos obligados a tratar la Eliminación como una cuestión distinta, la cual constituye una de las mayores dificultades especiales del álgebra común. Por muy laboriosos que sean los métodos con cuya ayuda superamos esta dificultad, ni siquiera son aplicables, de un modo enteramente general, a la eliminación de una cantidad incógnita entre dos ecuaciones de cualquier forma que sea.
En las cuestiones más simples, y cuando se trata verdaderamente de resolver una sola ecuación con una sola cantidad incógnita, esta resolución numérica no deja de ser un método muy imperfecto, aun cuando sea estrictamente suficiente.
Presenta, en efecto, el grave inconveniente de obligarnos a repetir toda la serie de operaciones ante el más mínimo cambio que pueda producirse en una sola de las cantidades consideradas, aunque sus relaciones mutuas permanezcan inalteradas; pues los cálculos hechos para un caso no nos permiten prescindir de ninguno de los correspondientes a un caso muy ligeramente diferente. Esto ocurre debido a nuestra incapacidad para abstraer y tratar por separado aquella parte puramente algebraica de la cuestión que es común a todos los casos que resultan de la mera variación de los números dados.
De acuerdo con las consideraciones precedentes, el cálculo de las funciones directas, visto en su estado actual, se divide en dos ramas muy distintas, según que su objeto sea la resolución algebraica de las ecuaciones o su resolución numérica.
El primer departamento, el único verdaderamente satisfactorio, es por desgracia muy limitado, y probablemente siempre lo será; el segundo, demasiado a menudo insuficiente, tiene, al menos, la ventaja de una generalidad mucho mayor.
La necesidad de distinguir claramente estas dos partes es evidente, debido al objeto esencialmente diferente que se propone en cada una y, en consecuencia, al punto de vista peculiar bajo el cual se consideran en ellas las cantidades.
Different Divisions of the two Methods of Resolution.
Si, además, consideramos estas partes en relación con los diferentes métodos de los que se compone cada una, encontramos en su distribución lógica una disposición completamente diferente. De hecho, la primera parte debe dividirse según la naturaleza de las ecuaciones que somos capaces de resolver, e independientemente de toda consideración relativa a los valores de las incógnitas.
En la segunda parte, por el contrario, no es según los grados de las ecuaciones como los métodos se distinguen naturalmente, puesto que son aplicables a ecuaciones de cualquier grado que sea; es según el carácter numérico de los valores de las cantidades incógnitas; pues, al calcular estos números directamente, sin deducirlos de fórmulas generales, se emplearían evidentemente medios diferentes cuando los números no son susceptibles de ver sus valores determinados de otro modo que por una serie de aproximaciones, siempre incompleta, o cuando pueden obtenerse con entera exactitud.
Esta distinción entre raíces inconmensurables y conmensurables, que exigen principios muy diferentes para su determinación, tan importante como es en la resolución numérica de las ecuaciones, carece por completo de importancia en la resolución algebraica, en la cual la naturaleza racional o irracional de los números que se obtienen