Estos tres métodos principales de ver nuestro análisis trascendental actual, y todos los demás menos claramente caracterizados que se han propuesto sucesivamente, son, por su naturaleza, necesariamente idénticos, ya sea en el cálculo o en la aplicación, como se explicará de manera general en el tercer capítulo.
En cuanto a su valor relativo, veremos allí que la concepción de Leibniz tiene hasta ahora, en la práctica, una superioridad incontestable, pero que su carácter lógico es sumamente vicioso; mientras que la concepción de Lagrange, admirable por su simplicidad, por su perfección lógica, por la unidad filosófica que ha establecido en el análisis matemático (hasta entonces separado en dos mundos casi enteramente independientes), presenta, sin embargo, graves inconvenientes en las aplicaciones, al retardar el progreso de la mente.
La concepción de Newton ocupa casi un término medio en estas diversas relaciones, siendo menos rápida, pero más racional que la de Leibniz; menos filosófica, pero más aplicable que la de Lagrange.
Este no es el lugar para explicar las ventajas de la introducción de esta clase de cantidades auxiliares en lugar de las magnitudes primitivas.
El tercer capítulo está dedicado a este asunto. Por el momento me limito a considerar esta concepción de la manera más general, con el fin de deducir de ella la división fundamental del cálculo de funciones en dos sistemas esencialmente distintos, cuya dependencia, para la solución completa de cualquier cuestión matemática, es invariablemente determinable.
En este sentido, y en el orden lógico de las ideas, el análisis trascendental se presenta como necesariamente el primero, ya que su objeto general es facilitar el establecimiento de ecuaciones, una operación que debe preceder evidentemente a la resolución de dichas ecuaciones, que es el objeto del análisis ordinario.
Pero, aunque es sumamente importante concebir de este modo las verdaderas relaciones de estos dos sistemas de análisis, no es menos adecuado, de conformidad con el uso regular, estudiar el análisis trascendental después del análisis ordinario; pues aunque el primero es, en el fondo, lógicamente independiente del segundo por sí mismo, o al menos puede desligarse esencialmente de él, es evidente que, dado que su empleo en la resolución de cuestiones necesita siempre más o menos ser completado por el uso del análisis ordinario, nos veríamos obligados a dejar las cuestiones en suspensivo si este último no se hubiera estudiado previamente.
Divisiones correspondientes del cálculo de funciones.
Se sigue de las consideraciones precedentes que el Cálculo de Funciones, o Álgebra (tomando esta palabra en su sentido más amplio), se compone de dos ramas fundamentales distintas, una de las cuales tiene por objeto inmediato la resolución de ecuaciones, cuando estas se establecen directamente entre las magnitudes mismas que se encuentran bajo consideración; y la otra, partiendo de ecuaciones (por lo general mucho más fáciles de formar) entre cantidades indirectamente conectadas con las del problema, tiene por destino peculiar y constante la deducción, mediante métodos analíticos invariables, de las ecuaciones correspondientes entre las magnitudes directas que estamos considerando; lo que trae la cuestión al dominio del cálculo precedente.