Finalmente, aun prescindiendo de las importantes consideraciones precedentes, el método infinitesimal no presentaría con menor evidencia, por su propia naturaleza, el gravísimo defecto de romper la unidad de las matemáticas abstractas al crear un análisis trascendental fundado en principios tan diferentes de aquellos que forman la base del análisis ordinario.
Esta división del análisis en dos mundos casi enteramente independientes el uno del otro tiende a dificultar la formación de concepciones analíticas verdaderamente generales. Para apreciar plenamente las consecuencias de esto, tendríamos que remontarnos al estado de la ciencia antes de que Lagrange hubiera establecido una armonía general y completa entre estas dos grandes secciones.
La de Newton. Pasando ahora a la concepción de Newton, es evidente que por su naturaleza no está expuesta a las objeciones lógicas fundamentales que suscita el método de Leibniz. La noción de límites es, de hecho, notable por su simplicidad y su precisión.
En el análisis trascendental presentado de este modo, las ecuaciones se consideran exactas desde su mismo origen, y las reglas generales del razonamiento se observan con tanta constancia como en el análisis ordinario. Pero, por otra parte, dista mucho de ofrecer recursos tan poderosos para la solución de problemas como el método infinitesimal.
La obligación que impone de no considerar nunca los incrementos de las magnitudes por separado y en sí mismos, ni siquiera en sus razones, sino únicamente en los límites de esas razones, retarda considerablemente las operaciones de la mente en la formación de ecuaciones auxiliares. Puede decirse incluso que obstaculiza en gran medida las transformaciones puramente analíticas.
Así, el análisis trascendental, considerado independientemente de sus aplicaciones, dista mucho de presentar en este método la extensión y la generalidad que le ha imprimido la concepción de Leibniz. Es muy difícil, por ejemplo, extender la teoría de Newton a funciones de varias variables independientes. Pero es especialmente con respecto a sus aplicaciones donde se manifiesta con más fuerza la inferioridad relativa de esta teoría.
Varios geómetras continentales, al adoptar el método de Newton como la base más lógica del análisis trascendental, han disimulado parcialmente esta inferioridad mediante una grave incoherencia, que consiste en aplicar a este método la notación inventada por Leibnitz para el método infinitesimal, y que en realidad es apropiada solo para este último.
Al designar mediante dy/dx aquello que lógicamente debería, en la teoría de límites, denotarse por L(Δy/Δx), y al extender a todas las demás concepciones analíticas este desplazamiento de signos, pretendieron, indudablemente, combinar las ventajas especiales de ambos métodos; pero, en realidad, solo han logrado provocar una viciosa confusión entre ellos, cuya familiaridad obstaculiza la formación de ideas claras y exactas de cualquiera de los dos. Ciertamente sería singular, considerando este uso en sí mismo, que, por el mero medio de signos, fuera posible efectuar una verdadera combinación entre dos teorías tan distintas como las que aquí se consideran.
Finalmente, el método de límites presenta también, aunque en menor grado, el gran inconveniente que he señalado más arriba en referencia al método infinitesimal, de establecer una separación total entre el análisis ordinario y el trascendente; pues la idea de límites, aunque clara y rigurosa, no deja de ser en sí misma, como ha observado Lagrange, una idea extraña, de la cual las teorías analíticas no deberían depender.