Para simplificar la exposición, hasta ahora solo hemos considerado la concepción fundamental de la geometría analítica con respecto a las curvas planas, cuyo estudio general fue el único objeto de la gran renovación filosófica producida por Descartes.
Para completar esta importante explicación, debemos mostrar ahora de manera sumaria cómo esta idea elemental fue extendida por Clairaut, cerca de un siglo después, al estudio general de las superficies y las curvas de doble curvatura. Las consideraciones ya expuestas me permitirán limitarme en este tema al examen rápido de lo que es estrictamente peculiar a este nuevo caso.
# SURFACES.
Determinación de un punto en el espacio. La determinación analítica completa de un punto en el espacio requiere evidentemente que se asignen los valores de tres coordenadas; como, por ejemplo, en el sistema que se adopta generalmente, y que corresponde al sistema rectilíneo de la geometría plana, las distancias desde el punto a tres planos fijos, habitualmente perpendiculares entre sí; lo cual presenta al punto como la intersección de tres planos cuya dirección es invariable. También podríamos emplear las distancias del punto móvil a tres puntos fijos, lo cual lo determinaría mediante la intersección de tres esferas de centro común. Del mismo modo, la posición de un punto se definiría dando su distancia a un punto fijo, y la dirección de esa distancia, por medio de los dos ángulos que esta línea recta forma con dos ejes invariables; este es el sistema polar de la geometría de tres dimensiones; el punto se construye entonces por la intersección de una esfera con un