general, que me parece particularmente adecuada para poner en el punto más claro esta representación necesaria de las líneas mediante ecuaciones con dos variables. Consiste en esto: que no solo, como hemos demostrado, toda línea definida debe dar lugar necesariamente a una cierta ecuación entre las dos coordenadas de cualquiera de sus puntos, sino que, además, toda definición de una línea puede considerarse ya de por sí como una ecuación de esa línea en un sistema adecuado de coordenadas.
Es fácil establecer este principio, haciendo primero una distinción lógica preliminar respecto a las diferentes clases de definiciones.
La condición rigurosamente indispensable de toda definición es la de distinguir el objeto definido de todos los demás, asignándole una propiedad que le pertenezca exclusivamente. Pero este fin puede alcanzarse por lo general de dos maneras muy diferentes; ya sea mediante una definición que es simplemente característica, es decir, indicativa de una propiedad que, aunque verdaderamente exclusiva, no da a conocer el modo de generación del objeto; o mediante una definición que es realmente explicativa, es decir, que caracteriza al objeto por una propiedad que expresa uno de sus modos de generación.
Por ejemplo, al considerar el círculo como la línea que, bajo el mismo contorno, contiene la mayor área, tenemos evidentemente una definición del primer tipo; mientras que al elegir la propiedad de tener todos sus puntos equidistantes de un punto fijo, tenemos una definición del segundo tipo.
Es, además, evidente, como principio general, que aun cuando un objeto cualquiera sea conocido al principio solo por una definición característica, debemos, sin embargo, considerarlo susceptible de definiciones explicativas, que el estudio ulterior del objeto nos conduciría necesariamente a descubrir.
Sentado esto, es claro que la observación general hecha más arriba, según la cual toda definición de una línea es necesariamente una ecuación de dicha línea en un cierto sistema de coordenadas, no puede aplicarse a las definiciones que son simplemente características; debe entenderse únicamente respecto a las definiciones que son verdaderamente explicativas. Mas, al considerar solo esta clase, el principio es fácil de demostrar. En efecto, es evidentemente imposible definir la generación de una línea sin especificar una cierta relación entre los dos movimientos simples de traslación o de rotación en los que el movimiento del punto que la describe se descompondrá en cada instante. Ahora bien, si formamos la concepción más general de lo que constituye un sistema de coordenadas y admitimos todos los sistemas posibles, es claro que dicha relación no será otra cosa que la ecuación de la línea propuesta, en un sistema de coordenadas de una naturaleza correspondiente a la del modo de generación considerado. Así, por ejemplo, la definición común de la circunferencia puede considerarse evidentemente como la ecuación polar inmediata de esta curva, tomando el centro de la circunferencia como polo. Del mismo modo, la definición elemental de la elipse o de la hipérbole —como la curva generada por un punto que se mueve de tal manera que la suma o la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos permanece constante— proporciona de inmediato, para una u otra curva, la ecuación y + x = c, tomando como sistema de coordenadas aquel en el que la posición de un punto se determinaría por sus distancia a dos puntos fijos, y escogiendo como polos de estos los dos focos dados. De igual manera, la definición común de cualquier cicloide suministraría directamente, para dicha curva, la ecuación y = mx; adoptando como coordenadas de cada punto el arco que este marca sobre un círculo de radio invariable, medido a partir del punto de contacto de dicho círculo con