La aplicación de las teorías universales así construidas a la determinación especial del fenómeno de que se trata en cada cuerpo particular, es considerada hoy en día solo como un trabajo subalterno, que debe ejecutarse según reglas invariables y cuyo éxito es seguro de antemano. Este trabajo es, en una palabra, del mismo carácter que el cálculo numérico de una fórmula analítica. No puede haber en él otro mérito que el de presentar en cada caso la solución que es proporcionada necesariamente por el método general, con toda la simplicidad y la elegancia que la línea o la superficie considerada puedan admitir.
Pero no se concede verdadera importancia a nada que no sea la concepción y la solución completa de una nueva cuestión perteneciente a una figura cualquiera.
Trabajos de este género son los únicos considerados como productores de un avance real en la ciencia. La atención de los geómetras, liberada así del examen de las peculiaridades de las diferentes figuras y dirigida por entero hacia cuestiones generales, ha podido elevarse de este modo a la consideración de nuevas concepciones geométricas que, aplicadas a las curvas estudiadas por los antiguos, han llevado al descubrimiento de importantes propiedades que estos ni siquiera habían sospechado antes.
Tal es la geometría, desde la revolución radical producida por Descartes en el sistema general de la ciencia.
La superioridad de la geometría moderna.
La mera indicación del carácter fundamental de cada una de las dos geometrías es sin duda suficiente para hacer aparente la inmensa superioridad necesaria de la geometría moderna. Podemos incluso decir que, antes de la gran concepción de Descartes, la geometría racional no estaba verdaderamente constituida sobre bases definitivas, ya sea en sus relaciones abstractas o concretas.
De hecho, por lo que respecta a la ciencia, considerada especulativamente, es evidente que, al seguir indefinidamente el camino de los antiguos, como hicieron los modernos antes de Descartes, e incluso un poco después, añadiendo algunas curvas nuevas al pequeño número de aquellas que ya habían estudiado, el progreso así realizado, por rápido que hubiera sido, seguiría pareciendo, tras una larga serie de siglos, muy insignificante en comparación con el sistema general de la geometría, dada la infinita variedad de formas que aún habrían quedado por estudiar.
Por el contrario, en cada cuestión resuelta según el método de los modernos, el número de problemas geométricos por resolver queda entonces, de una vez por todas, disminuido en esa misma proporción con respecto a todos los cuerpos posibles.
Otra consideración es que resultó, por su total carencia de métodos generales, que los antiguos geómetras, en todas sus investigaciones, se vieron enteramente abandonados a sus propias fuerzas, sin tener jamás la certeza de obtener, tarde o temprano, solución alguna. Si bien esta imperfección de la ciencia era sumamente apta para poner de relieve toda su admirable sagacidad, tornaba necesariamente sus progresos extremadamente lentos; podemos hacernos una idea de esto por el tiempo considerable que emplearon en el estudio de las cónicas. La geometría moderna, al asegurar el progreso de nuestra mente, nos permite, por el contrario, hacer el mayor uso posible de las fuerzas de nuestra inteligencia, que los antiguos se veían a menudo obligados a malgastar en