Soluciones singulares. En esta enumeración sistemática de las diversas partes esenciales del cálculo integral, consideradas en sus relaciones lógicas, he omitido deliberadamente (para no romper la cadena de secuencia) la consideración de una teoría muy importante, que forma implícitamente una porción de la teoría general de la integración de ecuaciones diferenciales, pero que debo señalar aquí por separado, por encontrarse, por decirlo así, fuera del cálculo integral, y ser no obstante del mayor interés, tanto por su perfección lógica como por la extensión de sus aplicaciones.
Me refiero a las llamadas Soluciones Singulares de las ecuaciones diferenciales, a veces llamadas, pero de manera impropia, particulares, las cuales han sido objeto de investigaciones muy notables por parte de Euler y Laplace, y de las cuales Lagrange en especial ha presentado una teoría general tan bella y simple. Clairaut, quien tuvo ocasión por primera vez de notar su existencia, vio en ellas una paradoja del cálculo integral, dado que estas soluciones tienen la peculiaridad de satisfacer las ecuaciones diferenciales sin estar comprendidas en las integrales generales correspondientes.
Lagrange ha explicado desde entonces esta paradoja de la manera más ingeniosa y satisfactoria, mostrando cómo tales soluciones se derivan siempre de la integral general mediante la variación de las constantes arbitrarias. Fue también el primero en apreciar debidamente la importancia de esta teoría, y con sobrada razón le dedicó un desarrollo tan completo en su "Cálculo de las funciones". Desde un punto de vista lógico, esta teoría merece toda nuestra atención por el carácter de perfecta generalidad que admite, ya que Lagrange ha proporcionado procedimientos invariables y muy sencillos para hallar la solución singular de cualquier ecuación diferencial que