En el cálculo diferencial, en efecto, esta distinción descansa, como hemos visto, solo en la extrema imperfección del análisis ordinario. Pero, por otra parte, es fácil ver que, aun cuando todas las ecuaciones pudiesen resolverse algebraicamente, las ecuaciones diferenciales no constituirían menos un caso de integración muy distinto del presentado por las fórmulas diferenciales explícitas; pues, limitándonos, por simplicidad, al primer orden y a una sola función y de una sola variable x, si suponemos que cualquier ecuación diferencial entre x, y y dy/dx se resuelve con respecto a dy/dx, encontrándose entonces que la expresión de la función derivada contiene generalmente a la función primitiva misma, que es el objeto de la investigación, la cuestión de la integración no habrá cambiado en absoluto su naturaleza y la solución no habrá hecho en realidad ningún otro progreso que el de haber reducido la ecuación diferencial propuesta a ser de solo el primer grado relativamente a la función derivada, lo cual en sí mismo tiene poca importancia. La diferencial no estaría entonces determinada de una manera mucho menos implícita que antes, en lo que respecta a la integración, la cual continuaría presentando esencialmente la misma dificultad característica.
La resolución algebraica de ecuaciones no permitía reducir el caso que estamos considerando a la simple integración de diferenciales explícitas, salvo en los casos especiales en que la ecuación diferencial propuesta no contenía la función primitiva en sí misma, lo que nos permitiría consecuentemente, al resolverla, hallar dy/dx en términos de x únicamente, y reducir así la cuestión a la clase de las cuadraturas.
Evidentemente, se encontrarían dificultades aún mayores en ecuaciones diferenciales de órdenes superiores, o que contuvieran simultáneamente diferentes funciones de varias variables independientes.
La integración de las ecuaciones diferenciales es entonces necesariamente más complicada que la de los diferenciales explícitos, mediante cuya elaboración se ha creado el cálculo integral, y de las cuales se ha hecho depender a las otras tanto como ha sido posible.
Todos los diversos métodos analíticos que se han propuesto para integrar ecuaciones diferenciales, ya sea la separación de las variables, el método de los multiplicadores, etc., tienen de hecho por objeto reducir estas integraciones a las de fórmulas diferenciales, la única que, por su naturaleza, puede acometerse directamente.
Desafortunadamente, por imperfecta que sea aún esta base necesaria de todo el cálculo integral, el arte de reducir a ella la integración de las ecuaciones diferenciales está todavía menos avanzado.
Subdivisiones: una variable o varias.
Cada una de estas dos ramas fundamentales del cálculo integral se subdivide a su vez en otras dos (al igual que en el cálculo diferencial, y por motivos precisamente análogos), según consideremos funciones con una sola variable, o funciones con varias variables independientes.
Esta distinción es, al igual que la precedente, todavía más importante para la integración que para la diferenciación. Esto resulta especialmente notable con referencia a las ecuaciones diferenciales. En efecto, aquellas que dependen de varias variables independientes pueden presentar evidentemente esta característica y una dificultad mucho más grave: que la función deseada sea definida diferencialmente por una simple relación entre sus diferentes derivadas especiales relativas a las distintas variables tomadas por separado. De aquí resulta la rama más difícil y también la más extensa del cálculo integral, comúnmente llamada cálculo integral de las diferencias parciales, creado por D'Alembert, y en la cual, según la justa apreciación de Lagrange,