Pero si dejamos de lado toda definición y examinamos la composición real de la ciencia de la geometría, nos inclinaremos al principio a considerar la definición precedente como demasiado restringida; pues es cierto que la mayor parte de las investigaciones que constituyen nuestra geometría actual no parecen en absoluto tener por objeto la medida de la extensión. A pesar de esta objeción fundamental, persistiré en mantener esta definición; porque, de hecho, si en vez de limitarnos a considerar aisladamente las diferentes cuestiones de la geometría, nos esforzamos por abarcar las cuestiones principales, en comparación con las cuales todas las demás, por importantes que sean, deben considerarse como meramente secundarias, terminaremos por reconocer que la medida de las líneas, de las superficies y de los volúmenes es el objeto invariable, a veces directo, aunque las más de las veces indirecto, de todas las labores geométricas.
Siendo fundamental esta proposición general, ya que solo ella puede dar a nuestra definición todo su valor, es indispensable entrar en algunos desarrollos sobre este asunto.
# PROPIEDADES DE LÍNEAS Y SUPERFICIES.
Cuando examinamos con atención las investigaciones geométricas que no parecen referirse a la medida de la extensión, hallamos que consisten esencialmente en el estudio de las diferentes propiedades de cada línea o de cada superficie; es decir, en el conocimiento de los diversos modos de generación, o al menos de definición, peculiares de cada figura considerada.
Ahora bien, podemos establecer fácilmente de la manera más general la relación necesaria de tal estudio con la cuestión de la medida, para la cual el conocimiento más completo de las propiedades de cada forma es un preliminar indispensable. Esto queda demostrado concurrentemente por dos consideraciones, igualmente fundamentales, aunque bien distintas en su naturaleza.
Necesidad de su Estudio: 1. Para encontrar la propiedad más adecuada. La primera, puramente científica, consiste en observar que, si no conociéramos otra propiedad característica de cada línea o superficie que aquella según la cual los geómetras la hubieran concebido primeramente, en la mayoría de los casos sería imposible tener éxito en la solución de las cuestiones relativas a su medición. De hecho, es fácil comprender que las diferentes definiciones que admite cada figura no son todas igualmente adecuadas para tal objeto, y que incluso presentan las oposiciones más completas a este respecto. Además, puesto que la definición primitiva de cada figura no fue elegida evidentemente con esta condición en vista, es claro que no debemos esperar, en general, encontrarla como la más adecuada; de donde resulta la necesidad de descubrir otras, es decir, de estudiar tanto como sea posible las propiedades de la figura propuesta.
Supongamos, por ejemplo, que el círculo se define como «la curva que, con el mismo contorno, contiene el área mayor». Esta es sin duda una propiedad muy característica, pero evidentemente encontraríamos dificultades insuperables al intentar deducir a partir de semejante punto de partida la solución de las cuestiones fundamentales relativas a la rectificación o a la cuadratura de esta curva. Es evidente de antemano que la propiedad de tener todos sus puntos equidistantes de un punto fijo debe adaptarse mucho mejor a investigaciones de esta naturaleza, aun cuando no sea precisamente la más adecuada.